·626· 智能系统学报 第9卷 设0={x1,x2,…,x,…},如果U内演算是一 推论11如果集U上的演算是一致的，“对角 致的，则Cantor“对角线证明方法”F:w~U,T∈ 线方法构造项T”不能作为任何“U内演算的推理 U上P(T)P(T),不动项矛盾的存在与双射关 依据”。 系：F:w~U无关。 推论12如果集U上的演算是一致的，那么， 即：(A)上(F:w~U)∧(TeU),或者， 满足对角线方法的构造项T,断定T∈U的所有“对 (C)上(F:w~U)A(T∈U)。 角线方法”证明错误。 证明只要否定“结论(B)上一(F:w~U)∧ 注记10广义域外不动项定理解释 T∈U”即可，用反证法，只要举出一个反例即可，取 1)在以上定理证明过程中，根据“反证法的使 U=J整数集合。 用规则”，把xp∈U看成假设时，可以使用“反证 1)假设U=J={xIP(x)},P(x)表示x是整 法”进行推理，只能得出xp生U:把xp∈U看成真 数，假设所有J的元素有一个列表，即：存在与双射 命题时，使用“反证法”是错误的。 关系：F:ω~J。 2)“U外不动项定理”与“广义U外不动项定 2)x∈JP(x),x∈J等价一个谓词P(x)“ 理”都是用二分法把全集U分成两类性质集合，命 x在列表中”，即存在双射关系：F:w~J。 题P是关于U的一个划分，U=+U-a,即： 3)x∈JP(T),对角线方法构造一个新元 +a=(xI P(x)),-a={x1P(x))o 素T,T与J中所有元素都不同， 3)“U外不动项定理”与“广义U外不动项定 把U=J分成偶数集合与奇数集合： 理”的本质是：一个U中已经定义的项与其否定项 +a={x|x=2n,n∈J} 不能自指代。如果自指代，就会变异成一个新项 -a={x|x=1-2n,n∈J} “T”,这个新项“T”不再是的元素，即：TU。 x∈J,即：x∈+a,或者x∈-a定义一个新数x∈+ 4)“U外不动项定理”与“广义U外不动项定 a台T=1-x,x∈-a台T=1-x,x∈J台T=1- 理”的区别是：“U外不动项定理”要求+a,-α之 x等价x∈J台T生J,即：x∈J→P(T)。 间存在双射关系，即：f:+a~-a;“广义U外不动 4)P(x)P(T),—(2)(3), 项定理”没有这个要求。 5)假设T∈J—问T∈J吗？假设T∈J成 5)“Cantor对角线方法”可以看成是U上的一 立，那么存在某个x,x=T。 个特殊的分类。从“·外不动项定理”的分类看，使 6)P(T)P(T),(5)代入，得到矛盾， 用自然数标号与它对应的第项分类，这个分类恰 x∈J台T=1-x,T∈J曰T=1-T。 与双射关系U~w联系在一起：从“广义U外不动 7)F:ω~J,T∈J上 项定理”的分类看，+=R,-α=☑，所构造的项 P(T)P(T)—(1)(5)(6)。 T不同于R中的每一个数，TR,这个分类可以不 涉及双射关系U~w。 由于T=1-T,T=2,即：T∈J不正确。 5.3无穷集合幂集合不可数证明错误 所以：A)上(F:w~U)A(TeU),或者， 还可以举出一个具体的例子： C)上(F:w~U)A(T∈U)成立。 例4有理数集合上的对角线方法 即：不动项矛盾的存在与双射关系：F:w~U 假设在没有发现无理数之前，不知道有无理数， 无关。 只知道所有的数都为有理数。按照Cantor对角线 根据不动项的性质，以下推论都成立： 方法，同样可以证明：有理数集合是不可数的。 推论6如果集U上的演算是一致的，“对角线 假设把有理数区间[0,1]里的所有数按照某种 方法构造项T”一定在U外，T华U。 顺序排列起来，那么总能找到至少一个0到1之间 推论7如果集U上的演算是一致的，“对角线 的有理数不在列表里。把列表上的数全写成0到1 方法构造项T”是未定义项。 之间的小数： 推论8如果集U上的演算是一致的，“对角线 a1=0.0143634628.… 方法构造项T”,P(T)是不可判定命题。 a2=0.3794907237. 推论9如果集U上的演算是一致的，“对角线 a3=0.2334343423.… 方法构造项T”,P(T)的不可判定与U内项是否 a4=0.0005948211… 可以判定无关。 a5=0.9590129145.… 推论10如果集U上的演算是一致的，“对角线 方法构造项T”,P(T)P(T)矛盾来源于U外。 那么就构造这么一个小数T,小数点后第1位设 Ｕ ＝ ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘ { ｉ，…} ，如果 Ｕ 内演算是一 致的，则 Ｃａｎｔｏｒ “对角线证明方法” Ｆ：ω ～ Ｕ ， Ｔ ∈ Ｕ ├ Ｐ（Ｔ）↔¬ Ｐ（Ｔ） ，不动项矛盾的存在与双射关 系： Ｆ：ω ～ Ｕ 无关。 即：（Ａ）├ （Ｆ：ω ～ Ｕ） ∧ ¬ （Ｔ ∈ Ｕ） ，或者， （Ｃ）├ ¬ （Ｆ：ω ～ Ｕ） ∧ ¬ （Ｔ ∈ Ｕ） 。 证明 只要否定“结论（Ｂ）├ ¬ （Ｆ：ω ～ Ｕ） ∧ Ｔ ∈ Ｕ ”即可，用反证法，只要举出一个反例即可，取 Ｕ ＝ Ｊ 整数集合。 １）假设 Ｕ ＝ Ｊ ＝ {ｘ ｜ Ｐ（ｘ）} ， Ｐ（ｘ） 表示 ｘ 是整 数，假设所有 Ｊ 的元素有一个列表，即：存在与双射 关系： Ｆ：ω ～ Ｊ 。 ２） ｘ ∈ Ｊ↔Ｐ（ｘ） ， ｘ ∈ Ｊ 等价一个谓词 Ｐ（ｘ） “ ｘ 在列表中”，即存在双射关系： Ｆ：ω ～ Ｊ 。 ３） ｘ ∈ Ｊ↔¬ Ｐ（Ｔ） ，对角线方法构造一个新元 素 Ｔ ， Ｔ 与 Ｊ 中所有元素都不同， 把 Ｕ ＝ Ｊ 分成偶数集合与奇数集合： ＋ α ＝ {ｘ ｜ ｘ ＝ ２ｎ，ｎ ∈ Ｊ} － α ＝ {ｘ ｜ ｘ ＝ １ － ２ｎ，ｎ ∈ Ｊ} ｘ∈ Ｊ，即：ｘ ∈＋ α，或者 ｘ ∈－ α 定义一个新数 ｘ ∈＋ α⇔Ｔ ＝ １ － ｘ ， ｘ ∈－ α⇔Ｔ ＝ １ － ｘ ， ｘ ∈ Ｊ⇔Ｔ ＝ １ － ｘ 等价 ｘ ∈ Ｊ⇔Ｔ ∉ Ｊ ，即： ｘ ∈ Ｊ↔¬ Ｐ（Ｔ）。 ４） Ｐ（ｘ）↔¬ Ｐ（Ｔ） ，———（２）（３）， ５）假设 Ｔ ∈ Ｊ ———问 Ｔ ∈ Ｊ 吗？ 假设 Ｔ ∈ Ｊ 成 立，那么存在某个 ｘ ， ｘ ＝ Ｔ 。 ６） Ｐ（Ｔ）↔¬ Ｐ（Ｔ） ，———（５）代入，得到矛盾， ｘ ∈ Ｊ⇔Ｔ ＝ １ － ｘ ， Ｔ ∈ Ｊ⇔Ｔ ＝ １ － Ｔ 。 ７） Ｆ：ω ～ Ｊ ， Ｔ ∈ Ｊ ├ Ｐ（Ｔ）↔¬ Ｐ（Ｔ） ———（１）（５）（６）。 由于 Ｔ ＝ １ － Ｔ ， Ｔ ＝ １ ２ ，即： Ｔ ∈ Ｊ 不正确。 所以：Ａ）├ （Ｆ：ω ～ Ｕ） ∧ ¬ （Ｔ ∈ Ｕ） ，或者， Ｃ）├ ¬ （Ｆ：ω ～ Ｕ） ∧ ¬ （Ｔ ∈ Ｕ） 成立。 即：不动项矛盾的存在与双射关系： Ｆ：ω ～ Ｕ 无关。 根据不动项的性质，以下推论都成立： 推论 ６ 如果集 Ｕ 上的演算是一致的，“对角线 方法构造项 Ｔ ”一定在 Ｕ 外， Ｔ ∉ Ｕ 。 推论 ７ 如果集 Ｕ 上的演算是一致的，“对角线 方法构造项 Ｔ ”是未定义项。 推论 ８ 如果集 Ｕ 上的演算是一致的，“对角线 方法构造项 Ｔ ” ， Ｐ（Ｔ） 是不可判定命题。 推论 ９ 如果集 Ｕ 上的演算是一致的，“对角线 方法构造项 Ｔ ” ， Ｐ（Ｔ） 的不可判定与 Ｕ 内项是否 可以判定无关。 推论 １０ 如果集 Ｕ 上的演算是一致的，“对角线 方法构造项 Ｔ ” ， Ｐ（Ｔ）↔¬ Ｐ（Ｔ） 矛盾来源于 Ｕ 外。 推论 １１ 如果集 Ｕ 上的演算是一致的，“对角 线方法构造项 Ｔ ”不能作为任何“ Ｕ 内演算的推理 依据”。 推论 １２ 如果集 Ｕ 上的演算是一致的，那么， 满足对角线方法的构造项 Ｔ ，断定 Ｔ∈Ｕ 的所有“对 角线方法”证明错误。 注记 １０ 广义域外不动项定理解释 １）在以上定理证明过程中，根据“反证法的使 用规则”，把 ｘＰ ∈ Ｕ 看成假设时，可以使用“反证 法”进行推理，只能得出 ｘＰ ∉ Ｕ ；把 ｘＰ ∈ Ｕ 看成真 命题时，使用“反证法”是错误的。 ２） “ Ｕ 外不动项定理”与“广义 Ｕ 外不动项定 理”都是用二分法把全集 Ｕ 分成两类性质集合，命 题 Ｐ 是关于 Ｕ 的一个划分， Ｕ ＝ ＋ α ∪－ α ，即： ＋ α ＝{ｘ ｜ Ｐ（ｘ）} ， － α ＝ {ｘ ｜ ¬ Ｐ（ｘ）} 。 ３） “ Ｕ 外不动项定理”与“广义 Ｕ 外不动项定 理”的本质是：一个 Ｕ 中已经定义的项与其否定项 不能自指代。 如果自指代，就会变异成一个新项 “ Ｔ ”，这个新项“ Ｔ ”不再是 Ｕ 的元素，即： Ｔ ∉ Ｕ 。 ４） “ Ｕ 外不动项定理”与“广义 Ｕ 外不动项定 理”的区别是：“ Ｕ 外不动项定理”要求 ＋ α， － α 之 间存在双射关系，即： ｆ： ＋ α ～ － α ；“广义 Ｕ 外不动 项定理”没有这个要求。 ５）“Ｃａｎｔｏｒ 对角线方法”可以看成是 Ｕ 上的一 个特殊的分类。 从“ Ｕ 外不动项定理”的分类看，使 用自然数标号与它对应的第 ｎ 项分类，这个分类恰 与双射关系 Ｕ ～ ω 联系在一起；从“广义 Ｕ 外不动 项定理”的分类看， ＋ α ＝ Ｒ ， － α ＝ ∅ ，所构造的项 Ｔ 不同于 Ｒ 中的每一个数， Ｔ ∉ Ｒ ，这个分类可以不 涉及双射关系 Ｕ ～ ω 。 ５．３ 无穷集合幂集合不可数证明错误 还可以举出一个具体的例子： 例 ４ 有理数集合上的对角线方法 假设在没有发现无理数之前，不知道有无理数， 只知道所有的数都为有理数。 按照 Ｃａｎｔｏｒ 对角线 方法，同样可以证明：有理数集合是不可数的。 假设把有理数区间［０，１］里的所有数按照某种 顺序排列起来，那么总能找到至少一个 ０ 到 １ 之间 的有理数不在列表里。 把列表上的数全写成 ０ 到 １ 之间的小数： ａ１ ＝ ０．０１４３６３４６２８… ａ２ ＝ ０．３７９４９０７２３７… ａ３ ＝ ０．２３３４３４３４２３… ａ４ ＝ ０．０００５９４８２１１… ａ５ ＝ ０．９５９０１２９１４５… … 那么就构造这么一个小数 Ｔ，小数点后第 １ 位 ·６２６· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷