2006春季班 线性代数第7章特征值与特征向量 例15设3阶实对称矩阵A的秩为2,1=2=6是 A的二重特征值,若a1=(,1,0)y, a2=(2,1,1),a3=(-1,2,-3)都是A的 属于特征值6的特征向量, (1)求A的另一特征值和对应的特征向量; (2)求矩阵A. 实对称矩阵是一定和对角矩阵相似的,也就是说 它是一定可以对角化的.它的对角化有2种形式.它 既可以和对角矩阵相似,也可以和对角矩阵既相似同 时还合同.就是说,对于实对称矩阵A,总存在可逆 矩阵P,使它和对角矩阵D相似, PAP=D, 或存在正交矩阵Q,使它和对角矩阵A既相似又合 同, 0A0=0 A0=A. 另外,它可以和对角矩阵合同,即存在可逆矩阵T, 使它和对角矩阵C合同, T AT=C 给定实对称矩阵A,求正交矩阵Q使其对角化的 步骤是: (1)设-A=0,求出A的特征值 n2006 春季班 线性代数 第 7 章 特征值与特征向量 7—7 例 15 设 3 阶实对称矩阵 A的秩为 2， 6 λ1 = λ 2 = 是 A的二重特征值，若 ( ) T 1, 1, 0 α 1 = ， ( )T 2, 1, 1 α 2 = ， ( ) T α 3 = − 1, 2, − 3 都是 的 属于特征值 6 的特征向量， A （１） 求 A的另一特征值和对应的特征向量； （２） 求矩阵 A． 实对称矩阵是一定和对角矩阵相似的，也就是说 它是一定可以对角化的．它的对角化有 2 种形式．它 既可以和对角矩阵相似，也可以和对角矩阵既相似同 时还合同．就是说，对于实对称矩阵 ，总存在可逆 矩阵 ，使它和对角矩阵 A P D相似， P AP = D −1 ， 或存在正交矩阵Q ，使它和对角矩阵Λ 既相似又合 同， = = Λ − Q AQ Q AQ 1 T ． 另外，它可以和对角矩阵合同，即存在可逆矩阵Ｔ， 使它和对角矩阵C 合同， T AT C T = ． 给定实对称矩阵 ，求正交矩阵Q使其对角化的 步骤是： A （１） 设 λI − A ＝０，求出 A的特征值 λ λ λ n , , , 1 2 L ；