赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 对于其他任意阶的高阶导数都可以做类似的处理 定理1.8(高阶导数的作用次序无关性).如果∫(x)∈Y在x0∈D2CX点p阶可微,则有 af((1…,)=Dm1…Dr(a)=Do…Df(x) =()(1y…,bv),va∈P 亦中p(x)作用于h1,…,hn}的顺序可作任意变换 证明考虑二阶情形①,亦即证 d 2 dr2(co(h1, 2)=da2()(2, 1)EY 作 e(t)=f(ro+t(h1 +h2))-f(aro+ th1)-f(ao+ th2 )+f(OEY, 引入 p(u)=f(ao+t(h1 +u))-f(ao+tUEY 有 o'(o)=t[f(ro+t(h1 +v))-f'(ao+tu) e(X; Y), 且θ(t)=叭(h2)-0(0)∈Y.估计 ()-t2f"(xo)(h1,h2)y=|(h2)-0(0)-t2[r"(xo)(h1)](h2 K sup lo(Th2)-t/"(o)(hi)lx(x: y) Ihalr f(xo+t(h1+rh2)-f(xo+trh2)-tf"(xox)xy)h2 f(ro+t(h1 +Th2))=f(ro)+tf"(ro)(h1+Th2)+o(tE(X; Y) f(co+trh)=f(ao)+trf"(ao(h2)+o(tEg(X; Y 则有 10(t)tf"(aro)(h1, h2)ly <t sup lo(t)lex rlh2lx=lot )le(x r)lh2lx 即有 3im+2=f"(0)(h1,ha2)∈Y 同理,引入 w(u)= f(ro+t(u+h2)-f(ro+tu) ①就此二阶情形的证明完全参照: vA Zorich. Mathematical Analysis,Vol.2. Springer- Verlag Berlin Heide- erg,2004.笔者未有独立的处理赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 对于其他任意阶的高阶导数都可以做类似的处理. 定理 1.8 (高阶导数的作用次序无关性). 如果 f(x) ∈ Y 在 x0 ∈ Dx ⊂ X 点 p 阶可微, 则有 d pf dx p (x)(h1, · · · , hp) = Dh1 ◦ · · · ◦ Dhp f(x) = Dhσ(1) ◦ · · · ◦ Dhσ(p) f(x) = d pf dx p (x)(hσ(1), · · · , hσ(p) ), ∀ σ ∈ Pp, 亦即 d pf dx p (x) 作用于 {h1, · · · , hp} 的顺序可作任意变换. 证明 考虑二阶情形➀, 亦即证 d 2f dx 2 (x0)(h1, h2) = d 2f dx 2 (x0)(h2, h1) ∈ Y. 作 θ(t) = f(x0 + t(h1 + h2)) − f(x0 + th1) − f(x0 + th2) + f(x0) ∈ Y, 引入 ϕ(v) = f(x0 + t(h1 + v)) − f(x0 + tv) ∈ Y, 有 ϕ ′ (v) = t [ f ′ (x0 + t(h1 + v)) − f ′ (x0 + tv) ] ∈ L (X; Y ), 且 θ(t) = ϕ(h2) − ϕ(0) ∈ Y . 估计  θ(t) − t 2 f ′′(x0)(h1, h2)   Y =  ϕ(h2) − ϕ(0) − t 2 [ f ′′(x0)(h1) ] (h2)   Y 6 sup τ∈(0,1)  ϕ ′ (τh2) − t 2 f ′′(x0)(h1)   L (X;Y ) |h2|Y = t sup τ∈(0,1)  f ′ (x0 + t(h1 + τh2)) − f ′ (x0 + tτh2) − tf′′(x0)(h1)   L (X;Y ) |h2|X. 由 f ′ (x0 + t(h1 + τh2)) = f ′ (x0) + tf′′(x0)(h1 + τh2) + o(t) ∈ L (X; Y ) f ′ (x0 + tτh2) = f ′ (x0) + tτf′′(x0)(h2) + o(t) ∈ L (X; Y ), 则有  θ(t) − t 2 f ′′(x0)(h1, h2)   Y 6 t sup τ∈(0,1) |o(t)|L (X;Y ) |h2|X = |o(t 2 )|L (X;Y ) |h2|X, 即有 ∃ lim t→0 θ(t) t 2 = f ′′(x0)(h1, h2) ∈ Y. 同理, 引入 ψ(u) = f(x0 + t(u + h2)) − f(x0 + tu) ∈ Y, ➀ 就此二阶情形的证明完全参照: V A Zorich. Mathematical Analysis, Vol. 2. Springer-Verlag Berlin Heidel￾berg, 2004. 笔者未有独立的处理. 11