第1章线性规划及单纯形法 15 题无法利用图解法求解。因此，图解法除了帮助初学者直观地了解线性规划的有关概念 和基本原理以外，没有其他作用。图解法的基本步骤为： (1)在笛卡儿直角坐标系上画出所有的约束函数（直线），并确定决策变量的取值范 围，这个范围内的每个点称为可行点或可行解，其全体称为可行域。 (2)画出至少两条目标函数直线，它们是平行的（实际上目标函数是平行直线族），这 样可以看到目标函数向什么方向移动时函数值是增加还是减少，当目标函数增加（原问 题是求极大)到某一点，如果再增加就跑到了约束域的外面时，这点就是所求的最优点 (最优解)。 例1.3 用图解法求解线性规划问题(1-1-1)。 B x*1=2,2*2=4 0 、、A 4+2=122m+3物=16 图1-1图解法求解线性规划问题(1-1-1) 解首先在笛卡儿直角坐标系上画出两条约束函数直线，然后判断约束域。由于有 变量非负的要求，所以只需要第一象限。原来第一个约束条件是2x1+3x2≤16，故满足 该条件的点位于△OCD区域，类似地，满足第二个约束条件的点位于△OAB区域。从 而满足所有约束条件的点位于四边形OAED区域。令目标函数6x1+7x2分别取值6和 12(当然也可以是其他值)并画出这两条直线，即图1-1中左下方的两条虚线。可以看出， 该直线向右上方移动时函数值是增加的。因此，该直线移动到E点时不能再移动了。因 为，E点还属于可行域的一点（可行点），继续向上移动时，目标函数值虽然增加，但直线 上所有点都不在约束域里面了。这就是说，E点是约束域里使得线性规划问题(1-1-1)目 标函数值最大的点，故该点即为所求的最优点。显然，这是两条约束直线的交点，解线性 方程组即可得到x1=2,x陵=4，而最优目标函数值为2*=40。 上述例题中的最优解是唯一的，但对于一般的线性规划问题，其解的结果还有可能 是：无穷多组解、无界解以及无可行解这3种情况。下面通过图解法加以说明。第 1 章 线性规划及单纯形法 15 题无法利用图解法求解。因此，图解法除了帮助初学者直观地了解线性规划的有关概念 和基本原理以外，没有其他作用。图解法的基本步骤为： (1) 在笛卡儿直角坐标系上画出所有的约束函数 (直线)，并确定决策变量的取值范 围，这个范围内的每个点称为可行点或可行解，其全体称为可行域。 (2) 画出至少两条目标函数直线，它们是平行的 (实际上目标函数是平行直线族)，这 样可以看到目标函数向什么方向移动时函数值是增加还是减少，当目标函数增加 (原问 题是求极大) 到某一点，如果再增加就跑到了约束域的外面时，这点就是所求的最优点 (最优解)。 例 1.3 用图解法求解线性规划问题 (1-1-1)。 图 1-1 图解法求解线性规划问题 (1-1-1) 解 首先在笛卡儿直角坐标系上画出两条约束函数直线，然后判断约束域。由于有 变量非负的要求，所以只需要第一象限。原来第一个约束条件是 2x1 + 3x2 6 16，故满足 该条件的点位于 4OCD 区域，类似地，满足第二个约束条件的点位于 4OAB 区域。从 而满足所有约束条件的点位于四边形 OAED 区域。令目标函数 6x1 + 7x2 分别取值 6 和 12(当然也可以是其他值) 并画出这两条直线，即图 1-1 中左下方的两条虚线。可以看出， 该直线向右上方移动时函数值是增加的。因此，该直线移动到 E 点时不能再移动了。因 为，E 点还属于可行域的一点 (可行点)，继续向上移动时，目标函数值虽然增加，但直线 上所有点都不在约束域里面了。这就是说，E 点是约束域里使得线性规划问题 (1-1-1) 目 标函数值最大的点，故该点即为所求的最优点。显然，这是两条约束直线的交点，解线性 方程组即可得到 x ∗ 1 = 2, x∗ 2 = 4，而最优目标函数值为 z ∗ = 40。 上述例题中的最优解是唯一的，但对于一般的线性规划问题，其解的结果还有可能 是：无穷多组解、无界解以及无可行解这 3 种情况。下面通过图解法加以说明