第六章微分中值定理及其应用 §1拉格朗日中值定理和函数的单调性 例1设函数f(x)在(a,b)内可导,在ab上连续,且导函数∫(x)严格递增,若 f(a)=∫(b)证明,对一切x∈(a,b)均有 f(xf(a)=f(b) 证人用反证法,若x∈(a,b)f(x0)≥f(a)=f(b)在区间{a,xx,b上分别应用 拉格朗日中值定理,彐51252,a(51(x0,x0〈2(b使得 f(5)=(x)-/(a) ≥0,f(52) ∫(b)-f(x0) Xo 这与∫(x)为严格递增相矛盾。 例2设函数f(x)在[a,+∞内可导,并且∫(a)0,试证:若当x∈(a,+∞)时,有 ∫(x)c)0则存在唯一的ξ∈(a,+∞)使得f(5)=0,又若把条件∫(x)》c减弱为 f(x)O(a(x(+∞),所述结论是否成立? 分析因为∫(a)0,若可以找到某点x)a,使得f(x)0则由∫(x)的严格递增性,并 应用连续函数的介值定理便可证明存在唯一的,使得f(5)=0 证Vx)a在[a,x]上应用拉格朗日中值定理,彐,a(5(x,使得 f(x)-f(a)=f()(x-a) 于是 f(x=f(a)+f((x-alf(a)+c(x-a 由于c)O,因此当x充分大时总可使得 f( f(a)+c(x-ayo 不妨设xx,f(x))0,所以f(x)在a+]上严格递增;在[a,x]上应用连续函数的第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日中值定理和函数的单调性 例 1 设函数 f (x)在(a,b) 内可导，在[a,b]上连续，且导函数 f (x) 严格递增，若 f (a) = f (b) 证明，对一切 x(a,b) 均有 f (x) f (a) = f (b) 证人 用反证法，若 ( , ) ( ) ( ) ( ) x0  a b f x0  f a = f b 在区间 [ , ],[ , ] a x0 x0 b 上分别应用 拉格朗日中值定理，  1 , 2 ,a 1 x0 , x0  2 b 使得 0 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 1  − −   = − −  = b x f b f x f x a f x f a f   这与 f (x) 为严格递增相矛盾。 例 2 设函数 f (x) 在 [a,+] 内可导，并且 f (a)0 ，试证：若当 x(a,+) 时，有 f (x)c0 则存在唯一的  (a,+) 使 得 f ( ) = 0 ，又若把条件 f (x)c 减弱为 f (x)0(ax+) ，所述结论是否成立？ 分析 因为 f (a)0 ，若可以找到某点 xa ，使得 f (x)0 则由 f (x) 的严格递增性，并 应用连续函数的介值定理便可证明存在唯一的  ，使得 f ( ) = 0 证 xa 在 [a, x] 上应用拉格朗日中值定理， ,a x ，使得 f (x) − f (a) = f ()(x − a) 于是 f (x) = f (a) + f ( )(x − a) f (a) + c(x − a) 由于 c0 ，因此当 x 充分大时总可使得 不妨设 x1 a, f (x1 )c0 ，所以 f (x)在[a,+] 上严格递增；在 [ , ] 1 a x 上应用连续函数的 f (x) f (a) + c(x − a)0