介值定理,则彐,a((x1,且ξ是唯一的。 假设∫(x)满足∫(x)》0,结论可能不成立,例如函数 f(x)= arctan x-,x∈[0,+∞], 满足f(O)=-0.c、)0,但因f(x)恒小于0,故在(O+∞)中不存在5, 1+x 使得f(2)=0 例3下面是对函数f(t)应用值中值定理的实例,因为函数 f(t)= 在[0,x]上满足拉朗日中值定理的条件,于是它存在5,0(5(x。使得 =xsin-=f(5)=2 在上式中令x→0,有2→0+,由 xsIn s一 可知CO=0因而m0,cos=0,这看起来似乎与mcas o COS=0不存在相矛盾, 试分析其原因 解首先应当注意:上面应用拉格朗日中值定理中的ξ是个中值点,是由函数f和区间[0,x 的端点而定的,具体说是与x有关 上面的推理过程到cos-=0为止都是正确。当由此得到cos=0时,必须把 ξ看作是由ⅹ而确定的中值点才是正确的;但若把ξ作为连续趋于零的变量得到 0,那是错误的。 例4证明(1+-)2是x的严格递增函数,而(x+-)是x严格递减函数介值定理，则 1 ,ax ,且  是唯一的。 假设 f (x) 满足 f (x)0 ，结论可能不成立，例如函数 , [0, ] 2 f (x) = arctan x − x +  ， 满足 0 2 (0) = −   f ， 0 1 1 ( ) 2  +  = x f x ，但因 f (x) 恒小于 0，故在 (0,+) 中不存在  ， 使得 f ( ) =0 例3 下面是对函数 f (t) 应用值中值定理的实例，因为函数 t x t t t f t   =      = 0 0 1 sin 0 2 ( ) 在 [0, x] 上满足拉朗日中值定理的条件，于是它存在  ,0 x 。使得     1 cos 1 ( ) 2 sin 1 sin 0 ( ) (0) = =  = − − − f x x x f x f 在上式中令 → + → + x 0 ,有 0 ，由 0 1 0, 2 sin 1 sin lim 0 lim 0 + = + = → →   与 x x x 可知 0 1 cos lim 0 + = →  x 因而 0 1 cos lim 0 + = →   ，这看起来似乎与 0 1 cos lim 0 + = →  x 不存在相矛盾， 试分析其原因。 解首先应当注意：上面应用拉格朗日中值定理中的  是个中值点，是由函数f和区间[0,x] 的端点而定的，具体说是与 x 有关。 上面的推理过程到 0 1 cos lim 0 + = →  x 为止都是正确。当由此得到 0 1 cos lim 0 + = →   时，必须把  看作是由 x 而确定的中值点才是正确的；但若把  作为连续趋于零的变量得到 0 1 cos lim 0 + = →  x ，那是错误的。 例 4 证明 2 ) 1 (1 x + 是 x 的严格递增函数，而 1 ) 1 ( + + x x x 是 x 严格递减函数