证设f(x)=i(1+-)=xi(1+-)则有 f(x)=l(1+-)+ f(x)=l(1+-)+ =ln(1+ x 1+x ln(1+x)-hr-、1 1+x (0(6(1) x+6 1+x 其中最后等式是对函数ny在区间[x,x+1上应用了拉格朗日中值定理,由此得到 f(r) +x1+X 于是f(x)在R上严格递增,这样(1+)=e(x也是x严格递增函数,同理可证(1+-) 是x的严格递减函数。 例5设F(x)定义在[a,+o上,而且n阶可导。证明:若 F(a)=F'(a)=…=F(m(a)=0,F(x)0,x∈(a,+∞),则F(x)O,x∈(a,+∞), 分析当m1时,需证,若F(a)=0,F(x)在a,]由解释解惑问题1中严格单调性判 别法可知上述结论是对立的。对一般的n,可以从F((x)0,x∈(a,+∞)与F(a)=0, 利用拉格朗日中值定理证得Fm(x)0,x∈(a,+∞),以此类推可以证得结论,下面例6 就是它的应用。 证x∈(a,+∞),在[a,x]上对F(n-)(m)应用拉格朗日中值定理,彐5n(a(5n(x),使 得 Fm)(x)-F-(a)=F("(5n)x-a) 因为F-"(a)=0所以x)a,F(m-)0,继续上述证明步聚n2次,可得 F'(x)O,x∈(a,+∞),最后对F(x)在a,x上应用拉格朗日中值定理,有 F(x)=F(x)-F(a)=F(51x-a),a(51(x,证 设 ) 1 ) (1 1 ( ) (1 x xil x f x in x = + = + 则有 x x x x f x 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ln(1 2 +  −  = + + x x x x f x 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ln(1 2 +  −  = + + = x + x + − 1 1 ) 1 ln(1 = x x x + + − − 1 1 ln(1 ) ln = (0 1) 1 1 1   + − +  x  x ， 其中最后等式是对函数 ln y 在区间 [x, x +1] 上应用了拉格朗日中值定理，由此得到 0 1 1 1 1 ( ) = + − +  x x f x 于是 f (x) 在 R 上严格递增，这样 ( ) ) 1 (1 x f x e x + = 也是 x 严格递增函数，同理可证 1 ) 1 (1 + + x x 是 x 的严格递减函数。 例 5 设 F(x) 定义在 [a,+] 上 ， 而 且 n 阶 可 导 。 证 明 ： 若 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0, ( , ) ( 1) ( ) =  = = =   + − F a F a F a F x x a  n n ，则 F(x)0, x (a,+) ， 分析 当 n=1 时，需证，若 F(a) = 0,F(x)在[a,] 由解释解惑问题 1 中严格单调性判 别法可知上述结论是对立的。对一般的 n，可以从 ( ) 0, ( , ) ( ) F x  x a + n 与 ( ) 0 ( 1) = − F a n ， 利用拉格朗日中值定理证得 ( ) 0 ( 1)  − F x n ， x (a,+) ，以此类推可以证得结论，下面例 6 就是它的应用。 证 x  (a,+) ，在 [ , ] ( ) ( 1) a x F t 上对 n− 应用拉格朗日中值定理， (a x) n n    ，使 得 ( ) ( ) ( )( ) 0 ( 1) ( 1) ( ) − = −  − − F x F a F n x a n n n  因 为 ( ) 0 ( 1) = − F a n 所 以 xa ， 0 ( 1)  n− F ，继续上述证明步聚 n-2 次，可得 F(x)0, x (a,+) ，最后对 F(x)在[a, x] 上应用拉格朗日中值定理，有 F x = F x − F a = F x − a a x 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ), 