《数学物理方法》第十二章作业参考解答 12.1半径为a的半圆形薄板,板面绝热,在直径边界上温度保持零度,而在半 圆周上保持恒温o。求板内的稳定温度分布。 解:定解问题 1a2 Vu(p,) papa ap) p 0(0<p<a,0≤q≤r) z=0, 设u(p,)=R(p)Φ(),代入方程并分离变量,得, (PR'(P)) Φ"(q) 由此得到两个方程, d"(q)+Ad(q)=0 PR(P)+PR(P)-2R(P)=0 以及边界条件,Φ=0=0,m=0 方程(q)+(q)=0与边界条件=。=0,4==0构成本征值问题, 本征值和本征函数分别为 A=An=m2,Φ(q)=Φn(q)= sin mo,(m=12,…)。 对应每一个本征值A=An=m2,方程p2R"(p)+pR(p)-R(p)=0的 解为 R (r)=Ap+Bp 方程的一般解为 u(p, p)=2(AmP"+Bmp-m)sin mo l(p→>0) Is not∞,:Bn=0 代入边界条件=l,得1 《数学物理方法》第十二章作业参考解答 12.1 半径为 a 的半圆形薄板，板面绝热，在直径边界上温度保持零度，而在半 圆周上保持恒温u0 。求板内的稳定温度分布。 解：定解问题 ( )          = = = = < < ≤ ≤ ∂ ∂ +        ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = = = = 0 0 2 2 2 2 0, 0, 0 0 ,0 1 1 ( , ) u u u u a u u u ρ a ϕ ϕ π ρ ϕ π ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ρ ϕ 设 u(ρ,ϕ) = R(ρ)Φ(ϕ) ，代入方程并分离变量，得， ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) λ ϕ ϕ ρ ρ ρ ρ ρ = Φ Φ′′ R′ = − R ， 由此得到两个方程， Φ′′(ϕ) + λΦ(ϕ) = 0， ( ) ( ) ( ) 0 2 ρ R′′ ρ + ρR′ ρ − λR ρ = 以及边界条件， 0, 0 0 Φ = Φ = ϕ= ϕ=π 方程Φ′′(ϕ) + λΦ(ϕ) = 0与边界条件 0, 0 0 Φ = Φ = ϕ= ϕ=π 构成本征值问题， 本征值和本征函数分别为 2 λ = λ m = m ， Φ(ϕ) = Φm (ϕ) = sin mϕ ， （m = 1,2,L）。 对应每一个本征值 2 λ = λ m = m ，方程 ( ) ( ) ( ) 0 2 ρ R′′ ρ + ρR′ ρ − λR ρ = 的 解为， m m m Rm r Am B − ( ) = ρ + ρ 方程的一般解为: u ρ ϕ A ρ B ρ mϕ m m m m m ( , ) ( )sin 1 ∑= − = + Qu(ρ → 0) is not ∞,∴ Bm = 0 代入边界条件 0 u u a = ρ = ，得