l=∑Ana" Sin mop 其中 lo sin mdde sin mde=,mr sin mede 所以,An+1 2n+1,n=0,1 4 -(2n+1) u(e, p2+sn(2n+1)=4 sin(2n +l)o (2n+1) 丌m=6(2n+1) 124半径为a的无限长介质圆柱(介电常数为E)放在匀强电场E0中,电场方 向与圆柱轴线垂直。求柱内、外的电势分布。 解:以圆柱的轴线为〓轴,显然这是平面问题。以E方向为x轴方向取极坐标系, 设球内电势为u1(P,q),球外电势为a2(O,),二者皆满足 Laplace方程, Vu(e, ) 0 p apl a 对球内问题,有自然边界条件的/m≠四 对球外问题,有边界条件n21→>-E0 pcos 并且有衔接条件叫2朗=6朗 用分离变量法,可得一般解为(分离变量过程,略) u(p, )=Ao(1+ Do In p)+ 2(Am cos mo+ Bm sin mo)(p"+Dmp-m) 柱内 u(p>0)is not oo, D=0, m=0, 1, 2 u(P,)=Ao+2(Am cos mo+ Bm sin mo)p" 柱外 Ao(1+Do In p)+2(Am cosmo Bm sin mp)p"2 ∑= = 1 0 sin m m u Am a mϕ 其中，      = = + = = = ∫ ∫ ∫ m n m n m u m u u m m A a m m 0 2 2 1 4 sin d 2 sin d sin d 1 0 0 0 0 0 0 2 θ θ π π θ θ θ θ π π π 所以， , 0, 1, 2L 2 1 4 (2 1) 0 2 1 = + = − + + n n u a A n n π ∑ ∑= + = + − +  +      + + = + ∴ = 0 2 1 0 0 2 1 (2 1) 0 sin(2 1) (2 1) 4 1 sin(2 1) (2 1) 4 ( , ) n n n n n n n a u n n u a u ϕ ρ π ρ ϕ π ρ ϕ 12.4 半径为 a 的无限长介质圆柱（介电常数为ε ）放在匀强电场 E0 中，电场方 向与圆柱轴线垂直。求柱内、外的电势分布。 解：以圆柱的轴线为 z 轴，显然这是平面问题。以 E0方向为 x 轴方向取极坐标系， 设球内电势为 ( , ) u1 ρ ϕ ，球外电势为 ( , ) u2 ρ ϕ ，二者皆满足 Laplace 方程， 0 1 1 ( , ) 2 2 2 2 = ∂ ∂ +        ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ρ ϕ u u u ， 对球内问题，有自然边界条件 ≠ ∞ 1 ρ =0 u 对球外问题，有边界条件u2 |ρ→∞→ −E0ρ cosϕ 并且有衔接条件 a a a a u u u u = = = = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ρ ρ ρ ρ ρ ε ρ ε 2 0 1 1 2 ; 用分离变量法，可得一般解为（分离变量过程，略）: ∑= − = + + + + 1 0 0 ( , ) (1 ln ) ( cos sin )( ) m m m m u ρ ϕ A D ρ Am mϕ Bm mϕ ρ D ρ 柱内: ∑= ⇒ = + + → ∞ ∴ = = 1 1 0 ( , ) ( cos sin ) ( 0) , 0, 0, 1, 2 m m m m m u A A m B m u is not D m ρ ϕ ϕ ϕ ρ Q ρ L 柱外: = + +∑ + →∞→ − m m A D Am m Bm m u E ρ ϕ ϕ ρ ρ ρ ϕ (1 ln ) ( cos sin ) | cos 0 0 0