→An=0(frm≠1),Bn=0( or all m) .u2(P,)=-Eo COS P(P+DPp") 由衔接条件:u1(p=a)=n(D=a)(.a4m=m=(2) 由(1)得 A+∑( A cosmo+ B. sin mo )a=- Eo coS o(a+Da-)→ An=0(orm≠1),Bn=0(0ralm,A1·a=-E(a+D4a-)→ A 由(2)得:EA1=-EE0(1-) 联合求解 AL 20E,D1 Co +a Eo +8 for p<a,u(P, @)=- 260 EoPcosp for p>a, u2(p, )=-Eo coS((p+ 12.8一半径为1的空心球,以球心为坐标原点,当表面充电至电势为 V(1+2cosO+3cosO2)(V为常量)时,求球内各点的电势。 解 由于对称性,u与无关 定解问题为 vu(r,0)=ar( or)r'sin8i( sino ou y 0 叫-0≠,山m=11+20s+30s2) 令u(,)=R()(0),代入方程且乘以一得, (sing)=l(1+1) 从而有, r2R"+2rR-l(l+1)R=0,3 ( , ) cos ( ) 0 ( 1), 0 ( ) 1 2 0 1 − ∴ = − + ⇒ = ≠ = u ρ ϕ E ϕ ρ D ρ Am for m Bm for all m 由衔接条件: ( ) ( ) (1), | | (2) 2 0 1 1 2 a a u u u a u a = = ∂ ∂ = ∂ ∂ = = = ρ ρ ρ ε ρ ρ ρ ε 由(1)得: ϕρ ϕ ϕ ϕ cos 0( 1), 0( ), ( ) ( cos sin ) cos ( ) 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 u A A for m B for all m A a E a D a A A m B m a E a D a m m m m m m = = ≠ = ⋅ = − + ⇒ + + = − + ⇒ − − = ∑ 由(2)得: (1 ) 2 1 1 0 0 a D ε A = −ε E − 联合求解: , ( , ) cos ( ) cos 2 , ( , ) , 2 2 0 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 1 ε ε ρ ε ε ρ ρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ε ε ε ρ ρ ϕ ε ε ε ε ε ε ε a for a u E for a u E A E D a + − > = − + + ∴ < = − + − = + = − 12.8 一半径为 1 的空心球，以球心为坐标原点，当表面充电至电势为 (1 2cos 3cos ) 2 V0 + θ + θ （V0 为常量）时，求球内各点的电势。 解： 由于对称性，u 与ϕ 无关 定解问题为      ≠ ∞ = + +  =      ∂ ∂ ∂ ∂  +      ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = = = , (1 2cos 3cos ) sin 0 sin 1 1 ( , ) 2 1 0 0 2 2 2 2 θ θ θ θ θ θ θ u u V u r r u r r r u r r r 令u(r,θ ) = R(r)Θ(θ ) ， 代入方程且乘以 RΘ r 2 得， ( ) ( ) sin ( 1) sin 1 2 1 = + ′ Θ′ Θ = − ′ r R′ l l R θ θ 从而有， 2 ( 1) 0 2 r R′′ + rR′ − l l + R =