引理 Cauchy列是有界列 (证) 定理4的证明:(只证充分性)教科书P217-218上的证明留作阅 读.现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观 4.用“ Cauchy收敛准则”证明“确界原理” 定理5非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界 证(只证“非空有上界数集必有上确界”)设E为非空有上界数集.当 E为有限集时,显然有上确 界.下设E为无限集,取1不是E的上界,的为E的上界.对分区间 [a2,b1],取 [a2,b2],使a2不是 E的上界,b2为E的上界.依此得闭区间列[a,).验证{b,)为 Cauch 列,由 Cauch收敛准则,(b,) 收敛;同理{a)收敛.易见b、,设、.有a,A 下证PB=8.用反证法验证的上界性和最小性 “Ⅱ”的证明: 用“区间套定理”证明“致密性定理” 定理6( Weierstrass)任一有界数列必有收敛子列. 证 (突出子列抽取技巧) 定理7每一个有界无穷点集必有聚点 2.用“致密性定理”证明“ Cauchy收敛准则”: 定理8数列(aa)收敛 an)是 cauchy列引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 ) 定理 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书 P217—218 上的证明留作阅 读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观. 4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ： 定理 5 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 为非空有上界数集 . 当 为有限集时 , 显然有上确 界 .下设 为无限集, 取 不是 的上界, 为 的上界. 对分区间 , 取 , 使 不是 的上界, 为 的上界. 依此得闭区间列 . 验证 为 Cauchy 列, 由 Cauchy 收敛准则, 收敛; 同理 收敛. 易见 ↘. 设 ↘ .有 ↗ . 下证 .用反证法验证 的上界性和最小性. 二. “Ⅱ” 的证明: 1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”: 定理 6 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证 （ 突出子列抽取技巧 ） 定理 7 每一个有界无穷点集必有聚点. 2．用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” ： 定理 8 数列 收敛 是 Cauchy 列