§2实数基本定理等价性的证明 证明若干个命题等价的一般方法 本节证明七个实数基本定理等价性的路线:证明按以下三条路线进行 I:确界原理→单调有界原理→区间套定理→ Cauchy收敛准则 确界原理 Ⅱ1:区间套定理→致密性定理→ Cauchy收敛准则 Ⅲ:区间套定理→ Heine- Borel有限复盖定理→区间套定理 “Ⅰ”的证明:(“确界原理→单调有界原理”已证明过) 1.用“确界原理”证明“单调有界原理” 定理1单调有界数列必收敛 2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理2设{[a,,b。] 是一闭区间套.则存在唯一的点5,使对Vn有 推论1若∈[a,]是区间套{[a,b])确定的公共点,则对 彐N 当>M时,总有[a2,]cUE,E) 推论2若5∈[a,]是区间套(a,确定的公共点,则有 ay5,h5,(n→∞) 3.用“区间套定理”证明“ Cauchy收敛准则”: 定理3数列(a)收敛台(a)是 Cauch列§ 2 实数基本定理等价性的证明 证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy 收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 . 一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ). 1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理 1 单调有界数列必收敛 . 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理 2 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 推论 1 若 是区间套 确定的公共点, 则对 , 当 时, 总有 . 推论 2 若 是区间套 确定的公共点, 则有 ↗ , ↘ , . 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”: 定理 3 数列 收敛 是 Cauchy 列