若定理1中的Xm服从(0一1)分布，于是有下面的定理 定理2(Bernoulli贝努利大数定律P切比雪夫大数律的特例 设4n是n重贝努利试验中事件A发生的次数，p (0<p<1)是事件A发生的概率，则Vε>0，有 imP(I分-p<e)=1,或PI片-p≥e)=0. -→0 证设，=，多 i次试验A发生 第一个严格说明 0, 否则 频率稳定性的定律 则Xm独立、同分布，都服从B(1,p),且Vn, 雅各布第一·伯努利 EX=P,DX=p(1-P)=Pq≤显然4n=X1+X2+…+Xn, 由Chebyschev大数定律知，Vε>0，有imP(-pl<)=1. Bernoulliz大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A 发生的频率山，/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 在n重Bernoulli独立试验中，当试验次数n→oo时，事件A的 频率依概率收敛于事件A的概率.Bernoulliz大数定律提供了通过 试验来确定事件概率方法的理论依据，即用频率估计概率是合理的.在 n 重Bernoulli独立试验中, 当试验次数 n →∞时, 事件 A 的 频率依概率收敛于事件 A 的概率. Bernoulli大数定律提供了通过 试验来确定事件概率方法的理论依据, 设  n 是n 重贝努利试验中事件A 发生的次数, p ( 0 < p < 1) 是事件A 发生的概率, 定理2(Bernoulli贝努利大数定律 P.176) lim (|  | ) 1,    p n P n n 或 lim (|  | )  0.    p n P n n 若定理1中的Xn 服从(0—1)分布,于是有下面的定理 证 设     ， 否则 ， 第 次试验 发生 0 1 i A Xi 则 Xn 独立、同分布, 都服从 B(1, p), 且  n , EXn  p, DXn  p(1 p),  pq | ) 1. 1 1 lim (| 1 1         n i n i i i n EX n X n P  n  n p  n i Xi n 1 1 切比雪夫大数律的特例 由Chebyschev大数定律知, 第一个严格说明 频率稳定性的定律  > 0, 有 ——是事件A 发生的频率 , 4 1  则  > 0, 有 n Bernoulli大数定律表明 n , 当重复试验次数 n 充分大时, lim (|  | ) 1.    p n P n n 显然  n  X1 X2 Xn , 事件 A 发生的频率 n /n 与事件A 的概率 p 有较大偏差的概率 很小. 即用频率估计概率是合理的