例3.设X=(X1,…,Xn)是从均匀分布U(0-1/2,9+1/2)中抽取的简单样本，则T(X)= (X(1),X(n)是充分统计量，但不是完全统计量. Proof.T(X)=(X(1),Xm)的充分性在例2.7.9中已证.下面来证明它不是完全的 要证明一个统计量T(X)不是完全的，只要找到一个实函数p(t)使得E(T)=0,但 “p(T)=0,a.e.P。”是不成立的即可. 令Z=X(m-X,Y=X-(0-1/2),i=1,2,…,n,则，…，Ynii.d.~U(0,1),与无 关.而此时Z=Xm-Xa=Ym-Ya的分布也与无关.找常数a<b使得 P(Z<a)=P(Z>b)>0. 定义 1,Z<a, o(t) -1,Z>b, 0,其它. 则易见p(t)满足：Egp(T)=0,但p()丰0（即P(p()≠0）>0).按定义T(X)=(X(1,X)不是 完全统计量. ☐ 三、有界完全统计量及其性质 定义2.若对任何满足 E0p(T(X)=0,对一切9∈日 的有界(a.e.有界)的函数p()都有 P(T(X)=0)=1,对一切0∈9， 则称T(X)为有界完全统计量】 由定义可见：一个“完全统计量”必为“有界完全统计量”，反之不必对。 定理5.(Basu定理设多={Fa(r),0∈O}为一分布族，日是参数空间.样本X=(X1,…,Xn)是 从分布族多中抽取的简单样本，设T(X)是一有界完全统计量，且是充分统计量.若π..V(X)的 分布与0无关，则对任何0∈日，V(X)与T(X)独立. 例4.设X=(X,…,Xn)是从N(0,1)中抽取的简单样本，R(X)=Xm）-X)称为极差， 则T(X)==∑=1X,与R(X)独立. Poof由于正态分布N(0,1)为指数族，自然参数空间日*={0：-∞<0<o}作为R1的子集有 内点.故T(X)为充分完全统计量 令Y=X:-9,则Y~N(0,1),i=1,2,·,n.因此Y,…,Ynii.d.~N(0,1),与9无关.从 而Y(m-Y(u的分布也与无关.故 R(X)=X(m)-X(L)=Y(m)-Y() 之分布与0无关，由推论2.8.1可知T(X)与R(X)独立 口 8~3. X = (X1, · · · , Xn)¥l˛!©ŸU(θ − 1/2, θ + 1/2)•ƒ{¸, KT(X) = (X(1), X(n))¥ø©⁄O˛, ÿ¥⁄O˛. Proof. T(X) = (X(1), X(n))ø©53~2.7.9•Æy. e°5y²ßÿ¥. áy²òá⁄O˛T(X)ÿ¥, êáÈòᢺÍϕ(t)¶Eθϕ(T) = 0, /ϕ(T) = 0, a.e. Pθ0¥ÿ§·=å. -Z = X(n) − X(1), Yi = Xi − (θ − 1/2), i = 1, 2, · · · , n,KY1, · · · , Yn i.i.d. ∼ U(0, 1),Üθà '. dûZ = X(n) − X(1) = Y(n) − Y(1)©ŸèÜθÃ'. È~Ía < b¶ P(Z < a) = P(Z > b) > 0. ½¬ ϕ(t) =    1, Z < a, −1, Z > b, 0, Ÿß. K¥Ñϕ(t)˜v:Eθϕ(T) = 0, ϕ(t) 6≡ 0 (=P(ϕ(t) 6= 0) > 0). U½¬T(X) = (X(1), X(n))ÿ¥ ⁄O˛. n!k.⁄O˛9Ÿ5ü ½¬ 2. eÈ?¤˜v Eθϕ(T(X)) = 0, ÈòÉ θ ∈ Θ k.(½a.e.k.)ºÍϕ(·) —k Pθϕ(T(X) = 0) = 1, ÈòÉ θ ∈ Θ, K°T(X)èk.⁄O˛. d½¬åÑ: òá/⁄O˛07è/k.⁄O˛0, áÉÿ7È. ½n 5. ( Basu½n F = {Fθ(x), θ ∈ Θ}èò©Ÿx, Θ¥ÎÍòm.X = (X1, · · · , Xn)¥ l©ŸxF•ƒ{¸, T(X)¥òk.⁄O˛,Ö¥ø©⁄O˛. er.v. V (X) ©ŸÜθÃ', KÈ?¤θ ∈ Θ, V (X)ÜT(X)’·. ~4. X = (X1, · · · , Xn)¥lN(θ, 1)•ƒ{¸, R(X) = X(n) − X(1)°è4, KT(X) = X¯ = 1 n Pn i=1 XiÜR(X) ’·. Proof. du©ŸN(θ, 1)èçÍx, g,ÎÍòmΘ∗ = {θ : −∞ < θ < ∞}äèR1f8k S:. T(X)èø©⁄O˛. -Yi = Xi − θ,KYi ∼ N(0, 1), i = 1, 2, · · · , n. œdY1, · · · , Yn i.i.d. ∼ N(0, 1),ÜθÃ'.l Y(n) − Y(1)©ŸèÜθÃ'. R(X) = X(n) − X(1) = Y(n) − Y(1) É©ŸÜθ Ã', dÌÿ2.8.1åT(X)ÜR(X)’·. 8