三因(2广-80<9 令0/(1-0)=6，则上式等价于 =0,0<6<∞. 上式左边是的多项式，故必有 =0,k=0,1,2,…,n. 即p(因=0，k=0,1,2,…,n.这就证明了T(X)=∑1X:是完全统计量 口 例2.设X=(X1,X2,·,Xn)为从正态总体N(0,1)中抽取的简单样本，则T(X)=为完全统 计量 Proof.显然T(X)=X=青∑1X:~N(0,1/m),设p()为t的任一实函数，满足Egp(T)=0, 对一切-0<0<0.此即 V医eg平=√层ee学e学em=0 所以 e0e-9.eat=0,-<0< 令z=n0,则 Ge)=e-号et 将z视为复数，G(z)为全平面上的解析函数，且G(z)当z取实数时为0，由解析函数的唯一性定理， G(z)在整个复平面上为0，特别取z=iμ，则 G()= (t)e-号.e-=0. 由Fourier变换的逆变换公式，可知 p(t)e-nt/2=0. 故有(t)=0,<o∞，因此T(X)=为完全统计量. 0 二、指数族中统计量的完全性 定理4.设样本X=(X1,X2,·,X)的概率函数 fx,)=Co)ep1∑Q.(oz(x}hx,0e日 为指数族.令T(X)=(T(X),·,T(X),若自然参数空间日*作为R的子集有内点，则T(X)是 完全统计量.Xn k=0 ϕ(k)  n k  θ 1 − θ k = 0, 0 < θ < 1. -θ/(1 − θ) = δ, K˛™du X∞ k=0 h ϕ(k)  n k i δ k = 0, 0 < δ < ∞. ˛™Ü>¥δıë™, 7k ϕ(k)  n k  = 0, k = 0, 1, 2, · · · , n. =ϕ(k) = 0, k = 0, 1, 2, · · · , n. ˘“y² T(X) = Pn i=1 Xi¥⁄O˛. ~2. X = (X1, X2, · · · , Xn)èloNN(θ, 1)•ƒ{¸, KT(X) = X¯è⁄ O˛. Proof. w,T(X) = X¯ = 1 n Pn i=1 Xi ∼ N(θ, 1/n), ϕ(t)èt?ò¢ºÍ, ˜vEθϕ(T) = 0, ÈòÉ−∞ < θ < ∞. d= r n 2π Z ∞ −∞ ϕ(t)e − n(t−θ) 2 2 dy = r n 2π Z ∞ −∞ ϕ(t)e − nt2 2 · e − nθ2 2 · e ntθdt = 0. §± Z ∞ −∞ ϕ(t)e − nt2 2 · e ntθdt = 0, −∞ < θ < ∞ -z = nθ,K G(z) = Z ∞ −∞ ϕ(t)e − nt2 2 e tzdt. Úz¿èEÍ, G(z)è²°˛)¤ºÍ, ÖG(z)z¢Íûè0, d)¤ºÍçò5½n, G(z)3áE²°˛è0, AOz = iµ,K G(µ) = Z ∞ −∞ ϕ(t)e − nt2 2 · e −iµtdt = 0. dF ourierCÜ_CÜ˙™, å ϕ(t)e −nt2/2 = 0. kϕ(t) = 0, |t| < ∞, œdT(X) = X¯è⁄O˛. !çÍx•⁄O˛5 ½n 4. X = (X1, X2, · · · , Xn)V«ºÍ f(x, θ) = C(θ)expnX k i=1 Qi(θ)Ti(x) o h(x), θ ∈ Θ èçÍx. -T(X) = (T1(X), · · · , Tk(X)), eg,ÎÍòmΘ∗äèRkf8kS:, KT(X)¥ ⁄O˛. 7