三、极小充分统计量* 一个分布族多的充分统计量往往不止一个，那么在使用中应该如何挑选呢？我们知道，统 计量是由样本加工而来的，如本章引言所述，对样本的加工显然可以提出两条要求：(1)在加 工中，样本所含参数的信息损失越少越好.若加工中此种信息毫无损失，那就是充分性的要求 (2)加工中，所得统计量愈简化越好，简化的程度可以用统计量的维数来衡量，也可以用函数关 系来表示.例如对一个二维统计量T(X)=(∑巴1X,∑m+1X),再进一步加工得到一维统 计量工2=∑”1X.直观上容易看出，T2比工简化.而且可以看出，乃是工的函数.一般来说， 若T与s是两个统计量，且T是S的函数，即T=q(S),那么由函数的定义可知，T比S简化， 定义2.设T是分布族多的充分统计量，若对乎的任一充分统计量S(X),存在一个函数qs()使 得T(X)=qs(S(X),则称T(X)是此分布族的极小充分统计量. 3完全统计量 定义1.设多={F(x),0∈日}为一分布族，日是参数空间.设T=T(X)为一统计量，若对任一 实函数p(),由 E9p(T(X)）=0,一切0∈日， (3.1) 总可推出 Pa(p(T(X)=0)=1,一切0∈日， (3.2) 则称T(X)是一完全统计量(Complete Statistic. 由定义可见，若T(X)是完全统计童，则它的任一实函数g(T)也是完全统计量 注1.统计量T(X)的完全性不仅取决于T的形状，还取决于样本X的分布族.完全性（亦称完备 性)这个名称，是来源于正交函数理论中的一个类似概念.为简单计，设统计量T(X)有密度函 数g(t),则(3.1)式可写为 (e)9(t)dt=0,-切6∈日. (3.3) 积分∫(t)9(t)dt=0形式上可看成“p与g。正交”·于是，条件(3.1)可说成是“p与函数 系{9,9∈日}正交”.在正交函数论，若M表示一正交函数系，且不存在与M正交的非零函数， 则称M为完全正交系.由(3.3)看出，我们这里的完全性正好与此相当.不过我们不称密度函数 系{g,0∈Θ}完全，而称统计量T完全.由于{g,0∈日}是由统计量T决定的，这种称呼不影响实 质。 例1.设X=(X1,·,Xn)为从总体b(1,)中抽取的简单样本，则T(X)=1X:是完全统计 量 Poof显然，T(X)~b(n,),故有 P(T(X)=)= (（）*1-0n-6,k=0,12…,n 设p(t)为任一实函数，满足Eap(T)=0,一切0<0<1，此即n!4ø©⁄O˛∗ òá©ŸxFø©⁄O˛ ÿéòá, @o3¶^•ATX¤]¿Q? ·Ç, ⁄ O˛¥d\Û 5, XŸ⁄Û§„, È\Ûw,å±J—¸^á¶: (1) 3\ Û•, §¹ÎÍθ&Eõî–. e\Û•d´&EŒÃõî, @“¥ø©5á¶. (2) \Û•, §⁄O˛ï{z–, {zß›å±^⁄O˛ëÍ5Ô˛, èå±^ºÍ' X5L´. ~XÈòáë⁄O˛T1(X) = (Pm i=1 Xi , Pn i=m+1 Xi),2?ò⁄\Ûòë⁄ O˛T2 = Pn i=1 Xi . Ü*˛N¥w—, T2'T1{z. Öå±w—, T2¥T1ºÍ. òÑ5`, eTÜs¥¸á⁄O˛, ÖT¥S ºÍ, =T = q(S), @odºÍ½¬å, T'S{z. ½¬ 2. T¥©ŸxFø©⁄O˛, eÈF?òø©⁄O˛S(X), 3òáºÍqS (·)¶ T(X) = qS (S(X)), K°T(X)¥d©Ÿx4ø©⁄O˛. 3 ⁄O˛∗ ½¬ 1. F = {Fθ(x), θ ∈ Θ}èò©Ÿx, Θ¥ÎÍòm.T = T(X)èò⁄O˛, eÈ?ò ¢ºÍϕ(·),d Eθϕ(T(X)) = 0, òÉ θ ∈ Θ, (3.1) oåÌ— Pθ(ϕ(T(X)) = 0) = 1, òÉ θ ∈ Θ, (3.2) K°T(X)¥ò⁄O˛ (Complete Statistic). d½¬åÑ, eT(X)¥⁄O˛, Kß?ò¢ºÍg(T)è¥⁄O˛. 51. ⁄O˛T(X)5ÿ=˚uT/G, Ñ˚uX©Ÿx. 5(½° 5) ˘á¶°, ¥5 uºÍnÿ•òáaqVg. è{¸O, ⁄O˛T(X)kó›º Ígθ(t),K(3.1)™åè Z ϕ(t)gθ(t)dt = 0, òÉ θ ∈ Θ. (3.3) »© R ϕ(t)gθ(t)dt = 0/™˛åw§/ϕÜgθ0. u¥, ^á(3.1)å`§¥/ϕÜºÍ X{gθ, θ ∈ Θ}0. 3ºÍÿ, eML´òºÍX, Öÿ3ÜMö"ºÍ, K°MèX. d(3.3) w—, ·Ç˘p5–ÜdÉ. ÿL·Çÿ°ó›ºÍ X{gθ, θ ∈ Θ}, °⁄O˛T. du{gθ, θ ∈ Θ}¥d⁄O˛T˚½, ˘´°
ÿKè¢ ü. ~1. X = (X1, · · · , Xn)èloNb(1, θ)•ƒ{¸, KT(X) = Pn i=1 Xi¥⁄O ˛. Proof. w,, T(X) ∼ b(n, θ), k P(T(X) = k) =  n k  θ k (1 − θ) n−k , k = 0, 1, 2, · · · , n. ϕ(t)è?ò¢ºÍ, ˜vEθϕ(T) = 0, òÉ0 < θ < 1,d= Xn k=0 ϕ(k)  n k  θ k (1 − θ) n−k = 0 ⇐⇒ 6