这里利用了下列事实：曲面{(…Y):Yi=vt=}是由曲面{(X1,·,Xn):T(X)= t}经正交旋转而来，曲面保持不变.因此在曲面{(X1,·,Xn):T(X)=t}上的条件概率与在曲 面{Y,·,Y):Y=y1}上的条件概率相同.故有 f儿a…T=)=fn,…,X=n=2学。4会听 与无关，所以T(X)=是充分统计量 二、充分性的判别准则—因子分解定理 因子分解定理是由R.A.Fisher在二十世纪二十年代提出来，它的最一般形式和严格数学证 明，是Halmos和Savage在1949年作出来的. 定理3.（因子分解定理）设样本X=(X1,·,Xn)的概率函数f(x,9)=f(x1,·,xn:)依 赖于参数日，T=T(X)=(T1(X),·,Tk(X)是一个统计量，则T为充分统计量的充要条件 是f(x,)可以分解为 f(x,9)=g(T(x),)h(x) (2.2) 的形状.注意此处函数h(x)=h(x1,·,工n)不依赖于0 这里概率函数是指：若X为连续型，则f(x,)是其密度函数；若X是离散型，则f(x,)= Pa(X1=x1,·,Xn=xn),即样本X的概率分布. 推论1.设T=T(X)为0的充分统计量，S=(T)是单值可逆函数，则S=(T)也是0的充分统 计量。 例3.设X=(X1,·,Xn)为从正态总体N(a,o2)中抽取的简单样本，令0=(a,o2),则T(X)= (=1X,∑1X)为充分统计量. Proof.样本X的联合密度为 k=(2a)”m-aa-r =1 =(a高)”m-(宫-2如空+m》 =g(T(x),)·h(x) 此处(x)三1，故由因子分解定理可知T(X)=(∑=1X,∑1X)为充分统计量。 由于（∑”1X,∑”1X)与（下，S2)为一一对应的变换，由推论可知(X,S2)也是充分统计量. 例4.设X=(X1,…,Xn)为从总体b(1,)中抽取的简单样本，则T(X)=∑1X:是充分统计 量 Proof.样本X的联合分布是 f(x,θ)=P%(X1=x1,…,Xn=xn) =0点(1-”-三“=g(T(x),0)h(x. 此处h(x)三1，故由因子分解定理可知T(X)=∑1X,为充分统计量. 0 5˘p|^ eØ¢: ­°{(Y1 · · · Yn) : Y1 = √ nt = y1}¥d­°{(X1, · · · , Xn) : T(X) = t}²^= 5,­°±ÿC. œd3­°{(X1, · · · , Xn) : T(X) = t}˛^áV«Ü3­ °{Y1, · · · , Yn) : Y1 = y1} ˛^áV«É”. k f(x1, · · · , xn|T = t) = f(y1, · · · , yn|Y1 = y1) = (2π) − n−1 2 e − 1 2 Pn i=2 y 2 i ÜθÃ', §±T(X) = X¯¥ø©⁄O˛. !ø©5OOK—œf©)½n œf©)½n¥dR.A. Fisher 3õ­VõcìJ—5,ßÅòÑ/™⁄ÓÇÍÆy ², ¥Halmos ⁄Savage31949cä—5. ½n 3. ( œf©)½n) X = (X1, · · · , Xn)V«ºÍf(x, θ) = f(x1, · · · , xn; θ) ù 6uÎÍθ, T = T(X) = (T1(X), · · · , Tk(X)¥òá⁄O˛, KTèø©⁄O˛øá^á ¥f(x, θ)屩)è f(x, θ) = g(T(x), θ)h(x) (2.2) /G.5ød?ºÍh(x) = h(x1, · · · , xn)ÿù6uθ. ˘pV«ºÍ¥ç: eXèÎY., Kf(x, θ)¥Ÿó›ºÍ; eX¥l—., Kf(x, θ) = Pθ(X1 = x1, · · · , Xn = xn), =XV«©Ÿ. Ìÿ 1. T = T(X)èθø©⁄O˛, S = ϕ(T)¥¸äå_ºÍ, KS = ϕ(T)è¥θø©⁄ O˛. ~3. X = (X1, · · · , Xn)èloNN(a, σ2 )•ƒ{¸, -θ = (a, σ2 ), KT(X) = ( Pn i=1 Xi , Pn i=1 X2 i )èø©⁄O˛. Proof. XÈ‹ó›è f(x, θ) =  1 √ 2πσ n expn − 1 2σ 2 Xn i=1 (xi − a) 2 o =  1 √ 2πσ n expn − 1 2σ 2 Xn i=1 x 2 i − 2a Xn i=1 xi + na2 o = g(T(x), θ) · h(x). d?h(x) ≡ 1, dœf©)½nåT(X) = (Pn i=1 Xi , Pn i=1 X2 i )èø©⁄O˛. du( Pn i=1 Xi , Pn i=1 X2 i )Ü(X, S ¯ 2 )èòòÈACÜ, dÌÿå(X, S ¯ 2 )è¥ø©⁄O˛. ~4. X = (X1, · · · , Xn)èloNb(1, θ)•ƒ{¸, KT(X) = Pn i=1 Xi¥ø©⁄O ˛. Proof. XÈ‹©Ÿ¥ f(x, θ) = Pθ(X1 = x1, · · · , Xn = xn) = θ Pn i=1 xi (1 − θ) n− Pn i=1 xi = g(T(x), θ)h(x). d?h(x) ≡ 1, dœf©)½nåT(X) = Pn i=1 Xièø©⁄O˛. 5