况是统计量把样本中的全部信息都集中起来，也就是说信息无损失，我们称这样的统计量为充分 统计量。 关于样本X=(X1,X2,·,Xn)的信息可以设想成如下的公式： {样本X中包含参数的信息}={统计量T(X)中所含参数的信息} +{在知道T(X)后样本X尚含有关于参数的剩余信息} 故T(X)为充分统计量的要求归结为：要求后一项信息为0.用统计的语言来描述，即要 求P%(XT=t)与无关.因此我们得到如下的定义： 定义1.设样本X的分布族{F6(x,日∈日}，0为分布的参数.设T=T(X)为一统计量，若在已 知T的条件下，样本X的条件分布与0无关，则称T(X)为充分统计量(Su历cient statistic以. 实际应用时条件分布用条件概率（离散情形）或条件密度（连续情形）来代替： 例1.设X=(X1,X2,·,Xn)为从0-1分布中抽取的简单样本，则T(X)=∑=1X,为充分统 计量. Poof按定义我们只要证明下列条件概率与8无关 P(X1=z1,...,Xn=InT(x)=to) P=1/),当2-t。 P(T()=to) i=1 当∑≠t0, =1 上述条件概率与无关，因此T(X)=∑1X;为充分统计量. ▣ 例2.设X=(X1,X2,…,Xn)为从正态总体N(0,1)中抽取的简单样本，则T(X)=是∑1X:= 灭为充分统计量 Proof.再做正交变换 班= =1 ak,j=2,,n 二1 由正态总体下样本均值和样本方差的分布导出过程可知∑”1Y2=∑=1X2,且Y,Y2,…,Y是 相互独立的，Y~N(万0,1)，Y~N(0,1),i=2,…,n.因此(Yi,…Yn)的联合密度为 f儿n,…h)=(2m)广号e2好-a-va0e 再由Y的密度函数为 k()=1 e-(g1-Vm0)2 2 知在给定Y时，(Y,·,Yn)的条件密度是 fn,…,nlbn）=fnnl=2m学ea听 (2.1) fy() 与0无关.¹¥⁄O˛r•‹&E—8•Â5, è“¥`&EÃõî, ·Ç°˘⁄O˛èø© ⁄O˛. 'uX = (X1, X2, · · · , Xn)&Eå±é§Xe˙™:  X•ù¹ÎÍ&E =  ⁄O˛T(X)•§¹ÎÍ&E +  3T(X)￾Xˇ¹k'uÎÍê{&E T(X)èø©⁄O˛á¶8(è: á¶￾òë&Eè0. ^⁄OäÛ5£„, =á ¶Pθ(X|T = t)ÜθÃ'. œd·ÇXe½¬: ½¬ 1. X©Ÿx{Fθ(x), θ ∈ Θ}, θè©ŸÎÍ. T = T(X)èò⁄O˛, e3Æ T^áe, X^á©ŸÜθÃ', K°T(X)èø©⁄O˛ (Sufficient statistic). ¢SA^û^á©Ÿ^^áV«(l—ú/) ½^áó›(ÎYú/) 5ìO. ~1. X = (X1, X2, · · · , Xn)èl0 − 1©Ÿ•ƒ{¸, KT(X) = Pn i=1 Xièø©⁄ O˛. Proof. U½¬·Çêáy²e^áV«ÜθÃ'. P(X1 = x1, · · · , Xn = xn|T(x) = t0) =    P (X1=x1,··· ,Xn=xn,T =t0 ) P (T(x)=t0 ) = 1￾ n t0
,  Pn i=1 xi = t0 0,  Pn i=1 xi 6= t0. ˛„^áV«ÜθÃ',œdT(X) = Pn i=1 Xièø©⁄O˛. ~2. X = (X1, X2, · · · , Xn)èloNN(θ, 1)•ƒ{¸, KT(X) = 1 n Pn i=1 Xi = X¯ èø©⁄O˛. Proof. 2âCÜ ( y1 = √ 1 n Pn i=1 xi , yj = Pn k=1 ajkxk, j = 2, · · · , n. doNe˛ä⁄ê©Ÿ—Lßå Pn i=1 Yi 2 = Pn i=1 Xi 2 ,ÖY1, Y2, · · · , Yn¥ Ép’·, Y1 ∼ N( √ nθ, 1), Yi ∼ N(0, 1), i = 2, · · · , n. œd(Y1, · · · Yn)È‹ó›è f(y1, · · · yn) = (2π) − n 2 e − 1 2 Pn i=2 y 2 i − 1 2 (y1− √ nθ) 2 . 2dY1ó›ºÍè fY1 (y1) = 1 √ 2π e − 1 2 (y1− √ nθ) 2 3â½Y1û, (Y1, · · · , Yn)^áó›¥ f(y1, · · · , yn|y1) = f(y1, · · · , yn) fY1 (y1) = (2π) − n−1 2 e − 1 2 Pn i=2 y 2 i (2.1) ÜθÃ'. 4