Proof.由 的-（)c器华-云} 参数空间日={(4，o2):-0<μ<0,0<2<∞.令1=川a2,2=-a,解出a= 站，1：2=i-,因此有（京）“e器-（V器)”e全c(,p=(e,p2, 故 fx,p)=C(p)ep{p∑+p2∑}h(x) i=1 1 =C(p)expfpTi(x)+2T2(x)}h(x). 再改p:为0(i=1,2),上式变为 f(x,)=C*()exp{0T(x)+2T2(x)}h(x) (1.7) 此为其自然形式.其自然参数空间为 日*={(01,02)：-00<01<+o,-0∞<2<0} 0 三、指数族的性质 定理1.在指数族的自然形式下，自然参数空间为凸集. 证明的方法如下：设任给)=（©，…，），0o=(,…,)皆属于自然参数空间日*， 设0<a<1,令9=a8)+(1-a)9o(即9：=a8+(1-a)9,i=1,2,…,k),若能证明9∈日*， 则按凸集的定义，定理得证. 定理2.设指数族的自然形式中，自然参数空间有内点，9g(工)是任一有界可积函数，则对 c0=/aem{空o,.c)scy. 有 "c8=/"taam{空5ahatoju amG(0) 其中∑=1m=m,即对G()关于日的任意阶偏导数可在积分下求得。 此定理的更一般的形式及其证明查看参考文献[1]P21定理1.2.1. 2充分统计量 我们知道，统计量是对样本的简化，希望达到：()简化的程度高；()信息的损失少.一个统 计量能集中样本中信息的多少，与统计量的具体形式有关，也依赖于问题的统计模型.最好的情 3Proof. d f(x; µ, σ2 ) =  1 √ 2πσ n e − nµ2 2σ2 exp n µ σ 2 Xn i=1 xi − 1 2σ 2 Xn i=1 x 2 i o , ÎÍòmΘ = {(µ, σ2 ) : −∞ < µ < ∞, 0 < σ2 < ∞}.-ϕ1 = µ/σ2 , ϕ2 = − 1 2σ2 , )—σ = q − 1 2ϕ2 , µ2/σ2 = ϕ 2 1 (− 1 2ϕ2 ), œdk  √ 1 2πσ n e − nµ2 2σ2 = q−2ϕ2 2π n e nϕ2 1 4ϕ2 4 = C ∗ (ϕ), ϕ = (ϕ1, ϕ2),  f(x, ϕ) = C ∗ (ϕ) exp  ϕ1 Xn i=1 xi + ϕ2 Xn i=1 x 2 i h(x) = C ∗ (ϕ) exp{ϕ1T1(x) + ϕ2T2(x)}h(x). 2Uϕi èθi (i = 1, 2), ˛™Cè f(x, θ) = C ∗ (θ) exp{θ1T1(x) + θ2T2(x)}h(x). (1.7) dèŸg,/™. Ÿg,ÎÍòmè Θ ∗ = {(θ1, θ2) : −∞ < θ1 < +∞, −∞ < θ2 < 0}. n!çÍx5ü ½n 1. 3çÍxg,/™e, g,ÎÍòmè‡8. y²ê{Xeµ?âθ (1) = (θ 1 1 , · · · , θ1 k ), θ(0) = (θ 0 1 , · · · , θ0 k ) ·ug,ÎÍòmΘ∗ , 0 < α < 1, -θ = αθ(1) + (1−α)θ (0) (=θi = αθ1 i + (1−α)θ 0 i , i = 1, 2, · · · , k),eUy²θ ∈ Θ∗ , KU‡8½¬, ½ny. ½n 2. çÍxg,/™•, g,ÎÍòmkS:, g(x) ¥?òk.建Í, KÈ G(θ) = Z X g(x) exp nX k j=1 θjTj (x) o h(x)dx, k ∂ mG(θ) ∂θm1 1 · · · ∂θmk k = Z X ∂ m ∂θm1 1 · · · ∂θmk k h g(x) exp nX k j=1 θjTj (x) o h(x) i dx, Ÿ• Pk j=1 mj = m, =ÈG(θ) 'uθ ?ø†Íå3»©e¶. d½nçòÑ/™9Ÿy²wΩz[1] P21½n1.2.1. 2 ø©⁄O˛ ·Ç, ⁄O˛¥È{z, F"à: (i) {zß›p; (ii) &Eõî. òá⁄ O˛U8••&Eı, Ü⁄O˛‰N/™k', èù6uØK⁄O.. Å–ú 3