=C(a)exp{Q1(0)T(x)+Q2(0)T2(x)}h(x), (1.2) 此处C(0)=(N2a)ne器，Q1(0)=μ叫a2,Q2(0)=-京，(x)=∑”14，T2(x)= ∑1，h(x)三1.因此由定义可知正态分布族N(山，2)是指数族. ▣ 例2.二项分布族{b(n,):0<日<1}是指数族 Proof.设X~二项分布b(n,),其概率函数为 p(a,0)=Po(X=z)= (1-0n-x (C)(°a)'a-0r x=0,1,2,,n (1.3) 此处样本空间乳={0,1,2，·，n,参数空间日={0：0<0<1}=(0,1).将上式改写为 .=-9rep{esT2}(回） C(0)exp{Q1(0)Ti(x)}h(r). (1.4) 此处C()=(1-)”,Q1()=log。,T(x)=x,h(x)=(),按定义二项分布族(n,)也是指 数族. ▣ 例3.均匀分布族{U(0,),0>0}不是指数族。 Proof.由指数族的定义可知，其支撑集为{x:p(x,)>0}={x:h(x)>O},它与9无关.而 均匀分布族{U(0,),0>0}的支撑集为{x:p(x,)>0}=(0,)与0有关，因此它不是指数 族。 口 二、指数族的自然形式及自然参数空间 在指数族的定义C0)ep{名Q:oz(ah()中，若用p:代替Q.(o,而将C0表成p 的函数C(.=(o,p2,…,p,故其表达式变为C(9)）e即{名Z工（回}h.再改， 为9，i=12,,k则上式即为：C(0)ep(三，Z(},此式称为指数族的自然形式（或 称为标准形式).故有下列定义 定义2.如果指数族有下列形式 f(z.0)=C(0)erp>0:T:(z)h(z). (1.5) 则称为指数族的自然形式Natural form).此时集合 日={0，，…，6s):exp{∑0，z(}(<∞} (1.6) 称为自然参数空间(Natural parametric space)) 例4.将正态分布族表示为指数族的自然形式，并求出其自然参数空间 2= C(θ) exp{Q1(θ)T1(x) + Q2(θ)T2(x)}h(x), (1.2) d?C(θ) = (√ 2πσ) −ne − nµ2 2σ2 , Q1(θ) = µ/σ2 , Q2(θ) = − 1 2σ2 , T1(x) = Pn i=1 xi , T2(x) = Pn i=1 x 2 i , h(x) ≡ 1 . œdd½¬å©ŸxN(µ, σ2 ) ¥çÍx. ~2. ë©Ÿx{b(n, θ) : 0 < θ < 1}¥çÍx. Proof. X ∼ ë©Ÿ b(n, θ), ŸV«ºÍè p(x, θ) = Pθ(X = x) =  n x  θ x (1 − θ) n−x =  n x  θ 1 − θ x (1 − θ) n , x = 0, 1, 2, · · · , n. (1.3) d?òmX = {0, 1, 2, · · · , n}, ÎÍòmΘ = {θ : 0 < θ < 1} = (0, 1). Ú˛™Uè p(x, θ) = (1 − θ) n exp n x log θ 1 − θ o ·  n x  = C(θ)exp{Q1(θ)T1(x)}h(x). (1.4) d?C(θ) = (1 − θ) n, Q1(θ) = log θ 1−θ , T1(x) = x, h(x) = ￾n x
, U½¬ë©Ÿxb(n, θ) è¥ç Íx. ~3. ˛!©Ÿx{U(0, θ), θ > 0} ÿ¥çÍx. Proof. dçÍx½¬åߟ|†8è{x : p(x, θ) > 0} = {x : h(x) > 0}, ßÜθ Ã'. ˛!©Ÿx{U(0, θ), θ > 0} |†8è{x : p(x, θ) > 0} = (0, θ) Üθ k', œdßÿ¥çÍ x. !çÍxg,/™9g,ÎÍòm 3çÍx½¬C(θ) exp  P k i=1 Qi(θ)Ti(x) h(x) •, e^ϕi ìOQi(θ), ÚC(θ) L§ϕ ºÍC ∗ (ϕ), ϕ = (ϕ1, ϕ2, · · · , ϕk), ŸLà™CèC ∗ (ϕ) exp  P k i=1 ϕiTi(x) h(x). 2Uϕi èθi , i = 1, 2, · · · , k, K˛™=è: C(θ) exp  P k i=1 θiTi(x) h(x), d™°èçÍxg,/™(½ °èIO/™). ke½¬ ½¬ 2. XJçÍxke/™ f(x, θ) = C(θ)expnXn i=1 θiTi(x) o h(x), (1.5) K°èçÍxg,/™(Natural form). dû8‹ Θ ∗ = n (θ1, θ2, · · · , θk) : Z X exp X k i=1 θiTi(x) h(x)dx < ∞ o (1.6) °èg,ÎÍòm (Natural parametric space). ~4. Ú©ŸxL´èçÍxg,/™, ø¶—Ÿg,ÎÍòm. 2