图5-36s平面上的图形在平面上的保角变换 图5-36(a)所示为上半S平面内的直线=-31和=2在F()平面上 的保角变换。例如,上半S平面内的直线s=-3+j0(≥0)映射到F(S)平面 上,就变成了F(S)平面上的a=-3的曲线。对于s平面上顺时针转出的轨 迹ABCD,其在F()平面上对应曲线是 AIBICID1。曲线的箭头表示运动 方向。根据保角变换的性质,S平面相上和F(S)平面上对应的角度是相等 的,并且具有相同的意义(例如,因为s平面内的直线AB与CD相互垂直, 所以在F()平面上A1B1与CD1在Bl点也构成直角)。由图5-36)可 以看出,当S平面上的图形包围两个F(S)的极点时,F(S)的轨迹将反时针 方向包围F(S)平面上原点两次。 在F(S)的平面上,图形包围原点的次数,取决于S平面上的封闭曲线 例如,这个曲线当S平面上的图形包围F(S)的两个极点和两个零点,相应 的F(S)的轨迹将不包围原点。如图5-36(c)所示。如果这个曲线只包围 个零点,相应的F(S)的轨迹将顺时针包围原点一次,如图5-36(d)所 示。如果S平面上的封闭曲线既不包围原点又不包围极点,F(S)的轨迹将 永远不会包围F(S)平面上的原点,如图5-36(d)所示。 对于s平面上的每一点,除了奇点外,在F(S)平面上只有一个相应的 点与之对应,即从S平面到F(S)平面的影射是一一对应的。但是,从F(s) 平面到s平面的影射不是一一对应的,因为对于F(S)平面上的某一给定点, 在s平面上可能有一个以上的点与之对应。例如如图5-36(c)中,对于F(s) 平面上的B1点,在S平面上与之对应的有(-3,3)和(0-3)两个点。 如果在S平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2.),即包围的零 点数与极点数相同,则在F(S)平面上,相应的封闭曲线不包围F(S)平面 上的原点。上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立 在影射定理的基础上。 5.52影射定理F(S) 设F(S)为两个s的多项式之比,并设P为F(S)的极点数,Z为F(s)的 141141 图 5-36 s 平面上的图形在平面上的保角变换 图 5-36（a）所示为上半 s 平面内的直线  3,1和  2在 F(s)平面上 的保角变换。例如，上半 s 平面内的直线s  3  j(  0)映射到 F(s)平面 上，就变成了 F(s)平面上的  3的曲线。对于 s 平面上顺时针转出的轨 迹 ABCD，其在 F(s)平面上对应曲线是 A1B1C1D1。曲线的箭头表示运动 方向。根据保角变换的性质，s 平面相上和 F(s)平面上对应的角度是相等 的，并且具有相同的意义（例如，因为 s 平面内的直线 AB 与 CD 相互垂直， 所以在 F(s)平面上 A1B1 与 C1D1 在 B1 点也构成直角）。由图 5-36(b)可 以看出，当 s 平面上的图形包围两个 F(s)的极点时，F(s)的轨迹将反时针 方向包围 F(s)平面上原点两次。 在 F(s)的平面上，图形包围原点的次数，取决于 s 平面上的封闭曲线。 例如，这个曲线当 s 平面上的图形包围 F(s)的两个极点和两个零点，相应 的 F(s)的轨迹将不包围原点。如图 5-36（c）所示。如果这个曲线只包围 一个零点，相应的 F(s)的轨迹将顺时针包围原点一次，如图 5-36（d）所 示。如果 s 平面上的封闭曲线既不包围原点又不包围极点， F(s)的轨迹将 永远不会包围 F(s)平面上的原点，如图 5-36（d）所示。 对于 s 平面上的每一点，除了奇点外，在 F(s)平面上只有一个相应的 点与之对应，即从 s 平面到 F(s)平面的影射是一一对应的。但是，从 F(s) 平面到 s 平面的影射不是一一对应的，因为对于 F(s)平面上的某一给定点， 在 s 平面上可能有一个以上的点与之对应。例如如图 5-36（c）中，对于 F(s) 平面上的 B1 点，在 s 平面上与之对应的有(-3,3)和(0,-3)两个点。 如果在 s 平面上曲线包围 k 个零点和 k 个极点(k=0,1,2…)，即包围的零 点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，相应的封闭曲线不包围 F(s)平面 上的原点。上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立 在影射定理的基础上。 5.5.2 影射定理 F(s) 设 F(s)为两个 s 的多项式之比，并设 P 为 F(s)的极点数，Z 为 F(s)的