西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（电子讲稿）线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis

第13讲 第5章线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3典型环节的幅相曲线的绘制 5.4稳定裕度和判据 5.3极坐标图( Polar plot,),幅相频率特性曲线,奈奎斯特曲线 5.3.1积分与微分因子 5.3.2一阶因子 5.3.3二阶因子 5.3.4传递延迟 Im a e Jor Im 0 0 低频区 Jo 图5-33(a)传递延迟的极坐标图 图5-33(b)e-j0和1+/OP的极坐标图 G(j)=e可以写成G(jo)=1/cosO7- jsin OT 因为的幅值总为1,而相角随线性变化,所以传递延迟的极坐标图是一个单 位园圆,如图5-33(a)所示。在低频时,传递延迟与一阶环节的特性相似, 如图5-33(b)所示 当 时 √o/、 ≈1-JT 35

135 第 13 讲 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3 典型环节的幅相曲线的绘制 5.4 稳定裕度和判据 5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线 5.3.1 积分与微分因子 5.3.2 一阶因子 5.3.3 二阶因子 5.3.4 传递延迟 Re Im   0  1 0 Re Im   0  1 jT 1   j T e   低频区 图 5-33(a) 传递延迟的极坐标图 图 5-33(b) j T e   和 1 jT 1 的极坐标图 j T G j e    ( )  可以写成G( j)  1 cosT  jsinT 因为的幅值总为 1，而相角随线性变化，所以传递延迟的极坐标图是一个单 位园圆，如图 5-33(a)所示。在低频时，传递延迟与一阶环节的特性相似， 如图 5-33(b)所示。 当 T 1   时， e j T j T      1

1+,≈1-/m7 当O>上时,两者存在本质的差别。 5.3.5极坐标图的一般形状 Im 0 n-m=2 2型系统 Re 1型系统 0型系统 图5-34(a)型1型和2型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图 Go) K(1jO+1)(z2jo+1)…(zmjO+1) (o)(T;j+1)T2jo+1)…(Tn-O+1)"m =0即0型系统:极坐标图的起点OD=0是一个位于正实轴的有限值。 对应于O三的极坐标图曲线的终点位于坐标原点,并且这一点上的 曲线与一个坐标轴相切。 v=11型系统:在总的相角中,-90的相角是jo项产生的。在低频时,极 坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当O三∞时,幅值为零, 且曲线收敛于原点,且曲线与一个坐标轴相切。 =2即2型系统:在总相角中-180°的相角是由(0)2项产生的 0型、1型和2型系统极坐标图低频部分的一般形状如图5-34(a)所示。如 果G(jO)的分母多项式阶次高于分子多项式阶次,那么G(jO)的轨迹

136 j T j T      1 1 1 当 T 1   时，两者存在本质的差别。 5.3.5 极坐标图的一般形状 Re Im   0   1型系统 0型系统 2型系统  0 0   0  Re  0 nm1 nm 2 nm3 图 5-34(a)0 型 1 型和 2 型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图 ( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2                      j T j T j T j K j j j G j n m   n  m   0即 0 型系统：极坐标图的起点  0 是一个位于正实轴的有限值。 对应于   的极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的 曲线与一个坐标轴相切。   1 1 型系统：在总的相角中， 90的相角是 j 项产生的。在低频时，极 坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当   时，幅值为零， 且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。   2即 2 型系统：在总相角中180的相角是由 2 ( j) 项产生的。 0 型、1 型和 2 型系统极坐标图低频部分的一般形状如图 5-34(a)所示。如 果G( j) 的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那么 G( j) 的轨迹

将沿者顺时针方向收敛于原点。当O=∞时,G(m)轨迹将与实轴 或虚轴相切如图5-34(b)所示。 极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的 时间常数决定的。 5.4对数幅-相图( Nichols Char尼柯尔斯图 Nichols Chart 10 Open-Loop Phase(deg) 图5-34二阶因子对数幅-相图 5.5奈奎斯特稳定判据( Nyquist Stability Criterion) R(s) C(s) G(s H(S) 图3-35闭环系统 考虑图5-35所示的闭环系统,其闭环传递函数为 C(s) R(s 1+H(SG(s) 137

137 将沿者顺时针方向收敛于原点。当   时， G( j) 轨迹将与实轴 或虚轴相切如图 5-34(b)所示。 极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的 时间常数决定的。 5.4 对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图 Nichols Chart Open-Loop Phase (deg) Open-Loop Gain (dB) -180 -135 -90 -45 0 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 图 5-34 二阶因子对数幅-相图 5.5 奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) R(s) C(s) G(s) H(s) 图 3-35 闭环系统 考虑图 5-35 所示的闭环系统，其闭环传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H s G s G s R s C s  

为了保证系统稳定,特征方程 1+H(SG(s=0 的全部根,都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数H(S)G(s)的极点 和零点可能位于右半s平面,但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s 平面,则系统是稳定的。 奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应H(O)G()与 1+H(s)G(S)在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方 法无须求出闭环极点,得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的 开环频率特性曲线,均可用来进行稳定性分析。 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。 假设开环传递函数H(S)G(s)可以表示成s的多项式之比。对于物理 上可实现的系统,闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子 多项式的阶数,这表明,当s趋于无穷大时,任何物理上可实现系统的 H(s)G(S)的极限,或趋于零,或趋于常数。 551预备知识 F(S)=1+H(s)G(s)=0 可以证明,对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线,在 F(S)平面上必存在一条封闭曲线与之对应。F(S)平面上的原点被封闭曲 线包围的次数和方向,在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围 的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数: (S+1)(S+2) 其特征方程为 138

138 为了保证系统稳定，特征方程 1 H(s)G(s)  0 的全部根，都必须位于左半 s 平面。虽然开环传递函数 H(s)G(s) 的极点 和零点可能位于右半 s 平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半 s 平面，则系统是稳定的。 奈 奎 斯 特 稳 定 判 据 正 是 将 开 环 频 率 响 应 H( j)G( j) 与 1 H(s)G(s) 在右半 s 平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方 法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的 开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。 假设开环传递函数 H(s)G(s) 可以表示成 s 的多项式之比。对于物理 上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子 多项式的阶数，这表明，当 s 趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的 H(s)G(s) 的极限，或趋于零，或趋于常数。 5.5.1 预备知识 F(s) 1 H(s)G(s)  0 可以证明，对于 S 平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在 F(s)平面上必存在一条封闭曲线与之对应。 F(s)平面上的原点被封闭曲 线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围 的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数： ( 1)( 2) 6 ( ) ( )    s s H s G s 其特征方程为：

6 F(Ss)=1+H(s)G(s)=1+ (S+1)s+2) (S+1.5+j24)(S+1.5-j2.4) (S+1)(S+2) 函数F(S)在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点, F(S)平面上必有一点与之对应。例如S=1+j2,则F(S)为: 6 F(1+j2)=1+ 1.115-j0.577 (2+j2)(3+j2) 这样,对于s平面上给定的连续封闭轨迹,只要它不通过任何奇点,在F(s) 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。 S平面 F()平面 a 139

139 ( 1)( 2) 6 ( ) 1 ( ) ( ) 1       s s F s H s G s 0 ( 1)( 2) ( 1.5 2.4)( 1.5 2.4)         s s s j s j 函数 F(s)在 s 平面内除了奇点外处处解析。对于 s 平面上的每一个解析点， F(s)平面上必有一点与之对应。例如 s  1 j2，则 F(s)为： 1.115 0.577 (2 2)(3 2) 6 (1 2) 1 j j j F j        这样，对于 s 平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在 F(s) 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。 S 平面 F(s)平面 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -4 -3 -2 -1 0 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 A B C D A1 B1 C1 D1 （a）

C D1 B A1 B1 15 F H3 140

140 -3 -2 -1 0 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 A B C D F E A B C D E F1 A B C D F E A1 B1 C1 D1 E1 (b) -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 (d)

图5-36s平面上的图形在平面上的保角变换 图5-36(a)所示为上半S平面内的直线=-31和=2在F()平面上 的保角变换。例如,上半S平面内的直线s=-3+j0(≥0)映射到F(S)平面 上,就变成了F(S)平面上的a=-3的曲线。对于s平面上顺时针转出的轨 迹ABCD,其在F()平面上对应曲线是 AIBICID1。曲线的箭头表示运动 方向。根据保角变换的性质,S平面相上和F(S)平面上对应的角度是相等 的,并且具有相同的意义(例如,因为s平面内的直线AB与CD相互垂直, 所以在F()平面上A1B1与CD1在Bl点也构成直角)。由图5-36)可 以看出,当S平面上的图形包围两个F(S)的极点时,F(S)的轨迹将反时针 方向包围F(S)平面上原点两次。 在F(S)的平面上,图形包围原点的次数,取决于S平面上的封闭曲线 例如,这个曲线当S平面上的图形包围F(S)的两个极点和两个零点,相应 的F(S)的轨迹将不包围原点。如图5-36(c)所示。如果这个曲线只包围 个零点,相应的F(S)的轨迹将顺时针包围原点一次,如图5-36(d)所 示。如果S平面上的封闭曲线既不包围原点又不包围极点,F(S)的轨迹将 永远不会包围F(S)平面上的原点,如图5-36(d)所示。 对于s平面上的每一点,除了奇点外,在F(S)平面上只有一个相应的 点与之对应,即从S平面到F(S)平面的影射是一一对应的。但是,从F(s) 平面到s平面的影射不是一一对应的,因为对于F(S)平面上的某一给定点, 在s平面上可能有一个以上的点与之对应。例如如图5-36(c)中,对于F(s) 平面上的B1点,在S平面上与之对应的有(-3,3)和(0-3)两个点。 如果在S平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2.),即包围的零 点数与极点数相同,则在F(S)平面上,相应的封闭曲线不包围F(S)平面 上的原点。上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立 在影射定理的基础上。 5.52影射定理F(S) 设F(S)为两个s的多项式之比,并设P为F(S)的极点数,Z为F(s)的 141

141 图 5-36 s 平面上的图形在平面上的保角变换 图 5-36（a）所示为上半 s 平面内的直线  3,1和  2在 F(s)平面上 的保角变换。例如，上半 s 平面内的直线s  3  j(  0)映射到 F(s)平面 上，就变成了 F(s)平面上的  3的曲线。对于 s 平面上顺时针转出的轨 迹 ABCD，其在 F(s)平面上对应曲线是 A1B1C1D1。曲线的箭头表示运动 方向。根据保角变换的性质，s 平面相上和 F(s)平面上对应的角度是相等 的，并且具有相同的意义（例如，因为 s 平面内的直线 AB 与 CD 相互垂直， 所以在 F(s)平面上 A1B1 与 C1D1 在 B1 点也构成直角）。由图 5-36(b)可 以看出，当 s 平面上的图形包围两个 F(s)的极点时，F(s)的轨迹将反时针 方向包围 F(s)平面上原点两次。 在 F(s)的平面上，图形包围原点的次数，取决于 s 平面上的封闭曲线。 例如，这个曲线当 s 平面上的图形包围 F(s)的两个极点和两个零点，相应 的 F(s)的轨迹将不包围原点。如图 5-36（c）所示。如果这个曲线只包围 一个零点，相应的 F(s)的轨迹将顺时针包围原点一次，如图 5-36（d）所 示。如果 s 平面上的封闭曲线既不包围原点又不包围极点， F(s)的轨迹将 永远不会包围 F(s)平面上的原点，如图 5-36（d）所示。 对于 s 平面上的每一点，除了奇点外，在 F(s)平面上只有一个相应的 点与之对应，即从 s 平面到 F(s)平面的影射是一一对应的。但是，从 F(s) 平面到 s 平面的影射不是一一对应的，因为对于 F(s)平面上的某一给定点， 在 s 平面上可能有一个以上的点与之对应。例如如图 5-36（c）中，对于 F(s) 平面上的 B1 点，在 s 平面上与之对应的有(-3,3)和(0,-3)两个点。 如果在 s 平面上曲线包围 k 个零点和 k 个极点(k=0,1,2…)，即包围的零 点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，相应的封闭曲线不包围 F(s)平面 上的原点。上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立 在影射定理的基础上。 5.5.2 影射定理 F(s) 设 F(s)为两个 s 的多项式之比，并设 P 为 F(s)的极点数，Z 为 F(s)的

零点数,它们位于s平面上的某一封闭曲线内,且有多重极点和多重零点 的情况。又设上述封闭曲线不通过F(S)的任何极点和零点。于是,s平面 上的这一封闭曲线影射到F(S)平面上,也是一条封闭曲线。当变量s顺时 针通过封闭曲线时,在F(S)平面上,相应的轨迹顺时针包围F(S)原点的 总次数R等于Z-P。 若R为正数,表示F(S)的零点数超过了极点数;若R为负数,表示F() 的极点数超过了零点数。在控制系统应用中,由H(s)G(s)很容易确定 F(s)=1+H(s)G(s)的P数。因此,如果,F(S)的轨迹图中确定了R 则s平面上封闭曲线内的零点数很容易确定。 553影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 为了分析线性控制系统的稳定性,令S平面上的封闭曲线包围整个右半 S平面。这时的封闭曲线由整个jo轴(从o=-到o=+∞)和右半S平面上半 径为无穷大的半圆轨迹构成。该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺 时针方向),如图5-37所示。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面,所 以它包围了1+H()G(s)的所有正实部的极点和零点。如果1+H(s)G(s) 在右半s平面不存在零点,则不存在闭环极点,因而系统是稳定的。封闭曲 线,即奈奎斯特曲线不通过1+H(S)G(S)的任何极点和零点。如果将影射 定理应用到F(s)=1+H(S)G(S)的特殊情况,可以陈述如下:如果s平面 上的封闭曲线包围整个右半s平面,则函数F(s)=1+H(s)G(s)在右半s 平面内的零点数等于函数F(s)=1+H(s)G(s)右半s平面内的极点数,加 上在F(s)=1+H(S)G(S)平面内的对应封闭曲线对F(s)=1+H(s)G(s) 142

142 零点数，它们位于 s 平面上的某一封闭曲线内，且有多重极点和多重零点 的情况。又设上述封闭曲线不通过 F(s)的任何极点和零点。于是，s 平面 上的这一封闭曲线影射到 F(s)平面上，也是一条封闭曲线。当变量 s 顺时 针通过封闭曲线时，在 F(s)平面上，相应的轨迹顺时针包围 F(s)原点的 总次数 R 等于 Z-P。 若R为正数，表示 F(s)的零点数超过了极点数；若R为负数，表示 F(s) 的极点数超过了零点数。在控制系统应用中，由 H(s)G(s) 很容易确定 F(s) 1 H(s)G(s) 的 P 数。因此，如果， F(s)的轨迹图中确定了 R， 则 s 平面上封闭曲线内的零点数很容易确定。 5.5.3 影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 为了分析线性控制系统的稳定性，令 s 平面上的封闭曲线包围整个右半 s 平面。这时的封闭曲线由整个 j 轴(从  到   )和右半 s 平面上半 径为无穷大的半圆轨迹构成。该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺 时针方向)，如图 5-37 所示。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半 s 平面，所 以它包围了1 H(s)G(s) 的所有正实部的极点和零点。如果1 H(s)G(s) 在右半 s 平面不存在零点，则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。封闭曲 线，即奈奎斯特曲线不通过1 H(s)G(s) 的任何极点和零点。如果将影射 定理应用到 F(s) 1 H(s)G(s) 的特殊情况，可以陈述如下：如果 s 平面 上的封闭曲线包围整个右半 s 平面，则函数 F(s) 1 H(s)G(s) 在右半 s 平面内的零点数等于函数 F(s) 1 H(s)G(s) 右半 s 平面内的极点数，加 上在 F(s) 1 H(s)G(s) 平面内的对应封闭曲线对 F(s) 1 H(s)G(s)

平面上原点的顺时针方向包围次数。 s平面 0 图5-37s平面内的封闭曲线 根据前面的假设条件,有 in[l+G(s)H(s)=常数闭环 即当S沿半径为无穷大的半圆运动时,函数F(s)=1+H(s)G(s)保持 常数。因此,F(s)=1+H(s)G(s)的轨迹是否包围了F(s)=1+H(s)G(s) 平面上的原点,可以考虑s平面上的封闭曲线的一部分,即只考虑o轴来 确定。传函数奈奎斯特闭环系统 554奈奎斯特稳定判据 利用G(jo)H(io)的轨迹,对-1+j0点的包围情况以及分析系统的方法概 括为下列奈奎斯特稳定判据(对于H()G()在jo轴上既无极点也无零点 的特殊情况):如果开环传递函H(s)G(S)在s右半平面内有k个极点,并 且liml+G(s)H(s]=常数,则为了使闭环系统稳定,当a从-∞变到+∞时 G(o)H(o)的轨迹必须反时针包围-1+0点k次。 143

143 平面上原点的顺时针方向包围次数。 s平面  j  0 图 5-37 s 平面内的封闭曲线 根据前面的假设条件，有   常数  lim[1 G(s)H (s)] s 闭环 即当 s 沿半径为无穷大的半圆运动时，函数 F(s) 1 H(s)G(s) 保持 常数。因此，F(s) 1 H(s)G(s) 的轨迹是否包围了 F(s) 1 H(s)G(s) 平面上的原点，可以考虑 s 平面上的封闭曲线的一部分，即只考虑 j 轴来 确定。传函数奈奎斯特闭环系统 5.5.4 奈奎斯特稳定判据 利用G( j)H( j)的轨迹，对-1+j0 点的包围情况以及分析系统的方法概 括为下列奈奎斯特稳定判据（对于 H(s)G(s) 在 j 轴上既无极点也无零点 的特殊情况）：如果开环传递函 H(s)G(s) 在 s 右半平面内有 k 个极点，并 且   常数  lim[1 G(s)H (s)] s ，则为了使闭环系统稳定，当 从 变到  时， G( j)H( j)的轨迹必须反时针包围-1+j0 点 k 次

m↑1+GHP面 Im↑GHF平面 R 1+G(o)H(o) 1+G(o)H(o) G(oHGO 555关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 这一判据可表示为:Z=R+P 式中 Z=函数F()=1+H(S)G()在右半s平面内的零点数 R=对-1+j0点顺时针包围的次数 P=函数H(S)G(s)在右半s平面内的极点数 如果P不等于零,对于稳定的控制系统,必须z=0或R=-P,这意味 着必须反时针方向包围-1+j0点P次。 如果函数H()G(S)在右半s平面内无任何极点,则z=R。因此,为 了保证系统稳定,G(jo)H(io)的轨迹必须不包围-1+j0点。 5.56G(s)H(S)含有位于JO上极点和/或零点的特殊情况 Im▲ Ds平面 A 0- GF平面 ACo d 0 E<< DE 14

144 Re Im 1GH平面 1G(j)H(j) 0 1 Re Im 0 1G(j)H(j) G(j)H(j)  1 GH平面 5.5.5 关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 这一判据可表示为：Z  R  P 式中 Z  函数 F(s) 1 H(s)G(s) 在右半 s 平面内的零点数 R  对-1+j0 点顺时针包围的次数 P  函数 H(s)G(s) 在右半 s 平面内的极点数 如果 P 不等于零，对于稳定的控制系统，必须Z  0 或R  P ，这意味 着必须反时针方向包围-1+j0 点 P 次。 如果函数 H(s)G(s) 在右半 s 平面内无任何极点，则Z  R 。因此，为 了保证系统稳定，G( j)H( j)的轨迹必须不包围-1+j0 点。 5.5.6G(s)H (s) 含有位于 j 上极点和/或零点的特殊情况 s平面  j   j0  j0  j  j  1 A B C  GH平面 Re Im   ' ' ' D ,E ,F F E D ' A ' B ' C    0    0