西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（电子讲稿）线性系统的时域分析法（第8讲）

第8讲 3.3二阶系统的时域分析 二阶系统:凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统,称为二阶系统 3.3.1二阶系统的数学模型 随动系统(位置控制系统)如图3-6所示。 输入电位计 输出电位计 ,驴 反馈信号 ac 发送 输入装置 RI 负载 吴差测量装置 放大器电动机齿轮传动 图3-6随动系统原理图 1)该系统的任务:控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。 (2)工作原理:用一对电位计作系统的误差测量装置,它们可以将输入和输出位置信号, 转换为与位置成正比的电信号 输入电位计电刷臂的角位置O,由控制输入信号确定,角位置已就是系统的参考输入量 而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比,输出电位计电刷臂的角位置θ,由输出轴 的位置确定。 电位差e=K,(en-e)就是误差信号。K,桥式电位器的传递函数 该信号被增益常数为KA的放大器放大,(KA应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上 电动机激磁绕组上加有固定电压。 如果出现误差信号,电动机就产生力矩以转动输出负载,并使误差信号减少到零 (3)当激磁电流固定时,电动机产生的力矩(电磁转距)为: M=C. M(s)=CmI,(s (3-10) C:电动机的转矩系数 n:为电枢电流

56 第 8 讲 3.3 二阶系统的时域分析 二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。 3.3.1 二阶系统的数学模型 随动系统（位置控制系统）如图 3-6 所示。 + 图3-6 随动系统原理图 输入电位计 输出电位计 θr θc 发送 反馈信号 SM θc ia 输入装置 e1 KA KAe La R1 R1 R2 θ i 放大器 电动机 齿轮传动 负载 误差测量装置 Ra ⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。 ⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号， 转换为与位置成正比的电信号。 输入电位计电刷臂的角位置r，由控制输入信号确定，角位置r就是系统的参考输入量， 而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置 c，由输出轴 的位置确定。 电位差 ( ) s r c e  K e  e 就是误差信号。 : Ks 桥式电位器的传递函数 该信号被增益常数为 KA的放大器放大，（ KA应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗） 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。 电动机激磁绕组上加有固定电压。 如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。 (3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为： m a M  C i M (s) C I (s)  m a （3-10） : Cm 电动机的转矩系数 : a i 为电枢电流

对于电枢电路 L-a+Ri+k=kke (3-11) (LS+RI(s)=KKsE(s)-k,sO(s) Ln:Rn:电动机电枢绕组的电感和电阻。 K:电动机的反电势常数,O:电动机的轴的角位移 电动机的力矩平衡方程为: d-o de (3-12) dt (S+ fS)e(s)=M(s) J:为电动机负载和齿轮传动装置,折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置,折合到电动机轴上的粘性摩擦系数 6=-6 6(s)=:6(s) (3-13) 3-1 3-10 3-12 E1(s) la(s)m( (s) L astra KbS 图3-7随动系统方块图 根据图3-7,可以求出系统的开环传递函数(即前向通路传递函数)因为反馈回路传递 函数为1 G(s) 6(s)H(s) E(s =KsKd LaS+Ra。"Js-+f1 KsK,C/ Cm. KBs i(L,S+RS+S)+CnK,S 3-14) (L,S+ROS+S) 如果略去电枢电感L

57 对于电枢电路 K K e dt d R i K dt di L a a b A s a a     （3-11） (L S R )I (s) K K E(s) K S (s) a  a a  A S  b  : : La Ra 电动机电枢绕组的电感和电阻。 : Kb 电动机的反电势常数， :电动机的轴的角位移。 电动机的力矩平衡方程为： m a M C i dt d f dt d J      2 2 （3-12） ( ) ( ) ( ) 2 JS  fS  s  M s J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。   i c 1  ( ) 1 ( ) s i s  c   （3-13） Ks KA Cm i 1 KbS θr(s) E(s) E1(s) Ia(s) M(s) θ(s) θc(s) 3-11 3-10 3-12 KbSθ(s) 图3-7 随动系统方块图 根据图 3-7，可以求出系统的开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递 函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) E s s H s G s  c  L S R JS fS C K S K K C i i L S R JS fS C K S JS fS C L S R K K a a m b S A m a am b m a a S A             ( )( ) 1 ( )( ) 1 1 1 2 2 2 （3-14） 如果略去电枢电感 La

G(s)= KsK,Cm/ir K S(5/×CmK→2S(s+F)S(S+1)S(nS+D15) K1= KkC/iR增益 F=/+cmK 阻尼系数,由于(K)电动机反电势的存在,增大了系统的粘性摩擦。 R K=K1/F开环增益 T=J/F机电时间常数 那么,不考虑负载力矩的情况下,随动系统的开环传递函数可以简化为: K G(s)= (3-16) S(TS+D) 相应的闭环传递函数a(s)=2()=G(s) K (3-17) 8(s) 1+G(s) TS+S+K K K 为了使研究的结果具有普遍意义,可将式(3-17)表示为如下标准形式 o(5)=C(s) (3-18) R(s)S2+250n+0n K K T o,一自然频率(或无阻尼振荡频率) 一阻尼比(相对阻尼系数) 二阶系统的标准形式,相应的方块图如图3-8所示 S(S+22n) 图3-8标准形式的二阶系统方块图

58 ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 1 1          S F J S K F S JS F K F R C K S JS f K K C i R K G s a m b S A m a 令 令 ( 1)  S T S K m （3-15） S A m a K1  K K C iR 增益 a m b R C K F  f  阻尼系数，由于( ) Kb 电动机反电势的存在，增大了系统的粘性摩擦。 K  K1 F 开环增益 Tm  J F 机电时间常数 那么，不考虑负载力矩的情况下，随动系统的开环传递函数可以简化为： ( 1) ( )   S T S K G s m （3-16） 相应的闭环传递函数 T S S K K G s G s s s s r m c        2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   （3-17） m n n m m m T K S T K S T S T K         2 1 2 2 2 为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) n n n R s S C s s         （3-18） m n T K  2  m n T K   m n T 1 2   2 Tm K 1    n －自然频率（或无阻尼振荡频率）  －阻尼比（相对阻尼系数） 二阶系统的标准形式，相应的方块图如图 3-8 所示 S(S+2ξωn) ωn R 2 (s) C(s) 图3-8 标准形式的二阶系统方块图 _

阶系统的动态特性,可以用ξ和On这两个参量的形式加以描述 二阶系统的特征方程:S2+25o,S+on2=0(3-19) 5on±nV5-1 (3-20) 3.3.2二阶系统的单位阶跃响应 阻尼比ξ是实际阻尼系数F与临界阻尼系数F的比值 F F 2ymk2√K/F2√JK/ 2、JK FC F一临界阻尼系数,5=1时,阻尼系数 21,两个不相等的根 ξ=0,虚轴上,瞬态响应变为等幅振荡 左半平面ξ>0 右半平面ξ<0 两个相等根 od=Onvl =0 两个不等根 图3-9二阶系统极点分布 (1)欠阻尼(0<5<1)二阶系统的单位阶跃响应 Underdamped Case 令σ=5n-衰减系数

59 二阶系统的动态特性，可以用 和 n 这两个参量的形式加以描述 二阶系统的特征方程： 2 0 2 2 S   n S  n  （3-19） 1 2 S1,2   n  n   （3-20） 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 阻尼比 是实际阻尼系数 F 与临界阻尼系数 FC 的比值 m FC F JK F J K F T K J K F      1 2 1 2 2 1 2 1 2 1  FC －临界阻尼系数，  1时，阻尼系数   0 两个正实部的特征根 发散 0    1 ，闭环极点为共扼复根，位于右半 S 平面，这时的系统叫做欠阻尼系统   1 ，为两个相等的根   1 ，两个不相等的根   0 ，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡 图3-9二阶系统极点分布 左半平面ξ>0 01 两个不等根 0 (1)欠阻尼( 0    1)二阶系统的单位阶跃响应 Underdamped Case 2 1,2 S   n  j n 1 令   n －衰减系数

± 阻尼振荡频率 R(s)=s,由式(3185)得 C(S=O(SR(s) S2+2Eo S+o S (S+5on)2+od2(S+on)2+ B 对上式取拉氏反变换,得单位阶跃响应为 h(o)=1-e [cosag/+s sin o, e"sin(t+B)t≥0 (3-21) 稳态分量 瞬态分量 B=arct =arccos 稳态分量为1,表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下,不存在稳态位置误差,瞬 态分量为阻尼正弦振荡项,其振荡频率为ω』一阻尼振荡频率 包络线1±e/h-2决定收敛速度 5=0时,h(1)=1- SIn (.1t≥0 (3-23) 这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡,其振荡频率为ω,一故称为无阻尼 振荡频率。On由系统本身的结构参数K和Tn,或K1和J确定,On常称自然频率。 ·实际控制系统通常有一定的阻尼比,因此不可能通过实验方法测得n,而只能 测得ωa,且ω4<ωn,5≥1,ω4不复存在,系统的响应不再出现振荡。 (2)临界阻尼(5=1) Critically Damped Case

60 d    j 2  d   n 1 －阻尼振荡频率 S R s 1 ( )  ，由式（3-18）得 S S S C s s R s n n n 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2          2 2 2 2 ( ) ( ) 1 n d n n d n S S S S               2 2 1 1               d n n d d n d 对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为 1  2 1  sin ] 1 ( ) 1 [cos 2 h t e t t d d t n           sin( ) 0 1 1 1 2       e t t d t n     （3-21） 稳态分量 瞬态分量     arccos 1 2    arctg 稳态分量为 1，表明图 3-8 系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬 态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为 d －阻尼振荡频率 包络线 2 1 1      t n e 决定收敛速度   0时，h(t)  1 sin t t  0  n （3-23） 这是一条平均值为 1 的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为 n －故称为无阻尼 振荡频率。 n 由系统本身的结构参数 K 和Tm ，或 K1和 J 确定， n 常称自然频率。 ·实际控制系统通常有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得 n ，而只能 测得 d ，且 d   n ，  d  1, 不复存在，系统的响应不再出现振荡。 (2)临界阻尼(  1) Critically Damped Case

u(t C(s)= @, 1 (S+a mn)SS(S+@,)S 临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应 h(o=l-e@, t-e '=l-e/(1+o,1 t20 (3-24) 当5=1时,二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程 d (3)过阻尼(5>1)0ver- damped Case C(s) (S-SXS-S2)Ss+o(5-22-1)S+on(5+ A O,s 1)5+On(5 A A2 +On(5 A3 √2-1(5+√2-1) h(t)=1 -(4+V2-1)on1t≥ 1) (3-25) 61

61 S r t u t R s 1 ( )  ( ) , ( )  n n n n n S S S S S C s              1 ( ) 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应 ( )  1   1 (1 )  0    h t e t e e t t n t t n t n  n n     （3-24） 当   1 时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为 1 的无超调单调上升过程， t n n e dt dh t      ( ) 2 (3)过阻尼(  1 ) Over-damped Case 1 2 S1,2   n  n   S S S S S S S S C s n n n n [ ( 1)][ ( 1)] 1 ( )( ) ( ) 2 2 2 1 2 2                    ( 1) ( 1) 2 3 2 1 2           n     n   A S A S A 1 A1  ( 1) 1 2 2      S  n   A 2 1( 1) 1 2 2 3        A 0 2 1( 1) 1 2 1( 1) 1 ( ) 1 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 2 2                 h t e e t t t   n   n       （3-25）

衰减快 慢 S1 基本上由S1决定 图3-10二阶系统的实极点 0.8 0.6 0.4 0.2 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 图3-11表示了二阶系统在不同ξ值瞬态响应曲线(书上图3-10P87) 3.3.3二阶系统阶跃响应的性能指标 ·欠阻尼情况

62 jω S2 S1 衰减快 慢 ξ 基本上由S1决定 图3-10二阶系统的实极点 σ 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 图 3-11 表示了二阶系统在不同 值瞬态响应曲线（书上图 3-10 P87） 3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标 ·欠阻尼情况

18 0.4 200 400 600 800 1000 1200 图3-12为系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标,将定量地描述 系统瞬态响应的性能。 在控制工程中,除了那些不容许产生振荡响应的系统外,通常都希望控制系统具有适度 的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。 二阶系统一般取ξ=0.4~0.8,0.7。其它的动态性能指标,有的可用ξ和on精确表示, 如,12M,有的很难用ξ和ωn准确表示,如t31,可采用近似算法。 (1)①t4延时时间 在式(3-21)中,即h()=1 e-se sin(@ t+B) ,t≥0 令h(t4)=0.5,B arccos 可得 o,L=LIn 2sin(1-52o,td +arccos) 参见书P88,在较大的ξ值范围内,近似有 1+0.65+0 (3-26) 书(3-19)式 63

63 图 3-12 为系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标，将定量地描述 系统瞬态响应的性能。 在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度 的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。 二阶系统一般取  0.4 ~ 0.8 , 0.7 。其它的动态性能指标，有的可用和 n 精确表示， 如 r p M p t ,t , ,有的很难用和 n 准确表示，如 d s t ,t ,可采用近似算法。 ⑴  d t 延时时间 在式（3-21）中，即 sin( ) , 0 1 1 ( ) 1 2       h t e t t d t n     令     arccos 1 ( ) 0.5 , 2   h t   arctg d 可得 2 2 1 2sin( 1 arccos ) ln 1           n d n d t t 参见书 P88，在较大的 值范围内，近似有 n d t    2 1 0.6  0.2  （3-26） 书（3-19）式

0<5<1时,亦可用t 1+0.75 (3-27)(书3-20) (2)②t,(上升时间) h(1)=1,求得 e ssin(@ I +B)=0 Od1+B=丌 1.=x-B (3-28)(3-31书) 5一定,即β一定,→on↑→L↓,响应速度越快 (3)③tn(峰值时间) 对式(3-21)(书3-14)求导,并令其为零,求得 5o,e se,d sin(o t+ B)-@desn cos(o /+B)=0 g(o41+B)= tgB Op=0,z,2z…,根据峰值时间定义,应取 (书3-22) 5一定时,On↑(闭环极点离负实轴的距离越远)→tp↓ (4)⑨σ%orM的计算,超调量 超调量在峰值时间发生,故h(tn)即为最大输出 h(n)=1--1 e sin(@,I, +B) MGn)=1+c∵si(x+p)=-sin/=-√l-2 h(tn)-h(∞) % 100%=e 100% (3-30)(书3-23) h(∞)

64 0    1时，亦可用 n d t  1 0.7  （3-27） （书 3-20） ⑵ r t （上升时间） ( )  1 r h t ，求得 sin( ) 0 1 1 2         d r t e t n  d t r     d r t      （3-28） （3-31 书）  一定，即  一定，  n  t r  ,响应速度越快 ⑶ (峰值时间) p t 对式（3-21）（书 3-14）求导，并令其为零，求得 sin(  )  cos(  )  0          e t e t d t d d t n n n     2 1 ( )  tg d t      2 1 tg    0, ,2 , d p t ,根据峰值时间定义，应取  d t p   (3 29) 2 2 1 2 1    d   d d t p T     (书 3-22)  一定时，n （闭环极点离负实轴的距离越远） t p  ⑷  % or M p的计算，超调量 超调量在峰值时间发生，故 ( ) p h t 即为最大输出 sin( ) 1 1 ( ) 1 2          d p t p h t e t n p 2 1 ( ) 1     h t   e p 2 sin(   )  sin    1 100% 100% ( ) ( ) ( ) % 2 1             e h h t h p (3-30) (书 3-23)

10 00.10.2030405060708091 阻尼比 图 3-145 R(s) S 5=0时,o%=100% 5=04时,%=254% 5=1.0时,%=0 当5=0.4~08时 (5⊙调节时间ts的计算 典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应 h(o in(o+B)t≥0 B=arct arccos 书式(3-14) 令Δ表示实际响应于稳态输出之间的误差,则有 "zend

65 图 3-14 2 2 2 ( ) 2 ( ) n n n R s S S C s         0 时， %  100%   0.4时， %  25.4%   1.0 时， %  0 当  0.4 ~ 0.8时  %  1.5% ~ 25.4% ⑸调节时间 S t 的计算 典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应 ( )  1 sin(  )  0  h t e t t d t n        arccos 1 2    arctg 书式(3-14) 令表示实际响应于稳态输出之间的误差，则有 2 2 1 sin( ) 1 1               t n n e e t d t