西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 控制系统的数学基础与数学模型

2控制系绕的数学基础与数学模型 ■2.1数学基础 ■2.2物理系统的微分方程描述 ■2.3传递函数 2.4方框图 2.5信号流图 总结 2022-2-3

2022-2-3 1 2控制系统的数学基础与数学模型 n 2.1 数学基础 n 2.2 物理系统的微分方程描述 n 2.3 传递函数 n 2.4 方框图 n 2.5 信号流图 n 总结

2.1数学基础 ■微分方程及其解的性质 物理模型( physical model 数学模型( mathematical model) 2022-2-3 2

2022-2-3 2 2.1数学基础 n 微分方程及其解的性质 物理模型(physical model) 数学模型(mathematical model)

微分方程解的形式 常微分方程 dx d"x dx a dt dt n-1 +…+a1"+a0X=∫(t) dt 设初始条件为: x(0)=x0,x(0) n-1 09°°°5 (0)=x"0 今解的形式为: x(t)=x0()+xn(t) xn()+(a1+月)e1+(a2+B2)e+.+(an+B,)l2 零初始解(零状态解)x70() 零输入解x() 特解x2(),是特征值 2022-2-3

2022-2-3 3 n 微分方程解的形式 常微分方程： v 设初始条件为： v 解的形式为： v 零初始解（零状态解） v 零输入解 v 特解 ( ) 1 1 0 1 1 a x f t dt dx a dt d x a dt d x n n n n n          0 1 1 0 0 (0) , (0) , , (0)      n n x x x x  x x t n n t t p f f h n x t e e e x t x t x t    ( ) (  ) (  ) (  ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 0            0 ( ) f x t x (t) h xp (t) i 是特征值

数学基础 The Complex Plane (review) Imaginary axis () u =x+y ∠=b=tan-1y X Real axis x 2 u==luFvx+y u=x (complex) conjugate 2022-2-3 4

2022-2-3 4 数学基础 The Complex Plane (review) Imaginary axis (j) Real axis u  x  jy x y  u  x  jy (complex) conjugate  y 2 2 1 | | | | tan u r u x y x y u          r r

数学基础 Laplace transform ■(1)拉氏变换定义 设函数f(t)满足①t0时,f(t)分段连续「 st lt<∞ 则f(t)的拉氏变换存在,其表达式记作 Lf(切)]=F(s)=f()et 2022-2-3

2022-2-3 5 数学基础 Laplace Transform n ⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作     0 [ f (t)] F(s) f (t)e dt st L     f t e dt st 0 ( )

拉氏变换定理(的录 Laplace transform properties Addition/Scaling Llafi(t)+bf2(t]=aF(s)+bF2(S) Differentiation f(r)|=sF(s)-f(0±) dt F(s),1 Integration f(tdt +叫f()dt =0土 Conⅴ olution f(t-rf(rdr= f()F2(s) Initial-value theorem f(0+)=lim sF(S) s→0 Final-value theorem im∫(t)= lim sF(s) t→0 s→0 2022-2-3 6

2022-2-3 6 拉氏变换定理（附录） Laplace Transform Properties     Final value theorem lim ( ) lim ( ) Initial value theorem (0 ) lim ( ) Convolution ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 Integration ( ) Differentiation ( ) ( ) (0 ) Addition/Scaling [ ( ) ( )] ( ) ( ) 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 - f t sF s - f sF s f (t τ)f (τ dτ F s F s f t dt s s F s L f t dt f t sF s f dt d L L af t bf t aF s bF s t s s t t                           

2.11 拉普拉斯变换对照表 X() 单位脉冲() 单位阶跃I() deniz cOsct s2+a2 (n-1,2,3,·) s+a)”+ 十g)(s+ ) Cs+a)(s+6) 12 [1+a1(--m s(s-+a)(s-b) 13 (s+a)2+ 14 coset (x+a)2+a ar-1+e--) √1-r s+25a.+ s-+25w.s-+a2 tan" s(x2+2a+e) tan. 7

2022-2-3 7 Laplace表

求拉氏变换与拉氏反变换的方法 查表法(利用附录表直接求取) 部分分式法(C:可用待定系数法求得, X 亦可用留数法求) CS aI s-P ■留数法 无重根C1=Lim(S-P)X(s)i=01,2,n s→P 有重根 gr x(s)(s+P)" j=0,1,2…r 只dS S=-P 2022-2-3 8

2022-2-3 8 求拉氏变换与拉氏反变换的方法 n 查表法(利用附录表直接求取) n 部分分式法 (Ci可用待定系数法求得， 亦可用留数法求) n 留数法 无重根 有重根     n i i i s S P C X 1 ( )  [(  ) ( )] i  0,1,2n  C Lim S P X s i s P i i  ( )( )  j 0,1,2 1 d ! 1 1 S -P 1 j             X s s P r j dS C r r j j 

2.2物理系统的微分方程描述 机械系统1(m22 求:该系统的微分方程 [解]根据物理学中的牛顿定律 =∑f 可得 f3x-ky+x 或 m y tf+ky (2.2.1) 图221机械平移系统 由式(221)可知系统输入与输出之间的关系,可以由 一个二阶线性常微分方程来描述

2022-2-3 9 2.2物理系统的微分方程描述 机械系统1(P22)

物理系统的微分方程描述 机械系统2 [例22.2]机械转动系统如图22.2。 设:J为负载转动惯量,∫为旋转粘性摩擦系数,T为输入转矩,ω为输出角速度, 求运动徽分方程式。 [解]对于转动系统,牛顿定律可以表示为 T 并卡片 式中a=为角加速度。 所以有 图2.22机械转动系统 J o+fw=T +f=t' (2.2.2)

2022-2-3 10 物理系统的微分方程描述 机械系统2