第5章线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 幅相曲线对数频率特性曲线 5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3典型环节的幅相曲线的绘制 5.4稳定裕度和判据 5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制 525最小相位系统与非最小相位系统 Minimum phase systems and non-minimum phase systems 在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数,称为最小相位传递 函数;反之,在右半S平面内有极点和(或)零点的传递函数,称为非 最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统, 反之,具有非最小相位传递函数的系统,称为非最小相位系统 在具有相同幅值特性的系统中,最小相位传递函数(系统)的相角 范围,在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范 围,都大于最小相位传递函数的相角范围。 对于最小相位系统,其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于 非最小相位系统则不是这种情况。 作为例子,考虑下列两个系统,它们的特性频率分别为 I+ joT G,o) 1-j@T G2(O) 0<T<T 1+jOT 1+joT 图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零极点分布图 如前所述,对于最小相位系统,幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应 关系。这意味着,如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上 118
118 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法 幅相曲线 对数频率特性曲线 5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3 典型环节的幅相曲线的绘制 5.4 稳定裕度和判据 5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.2.5 最小相位系统与非最小相位系统 Minimum phase systems and non-minimum phase systems 在右半 s 平面内既无极点也无零点的传递函数，称为最小相位传递 函数；反之，在右半 s 平面内有极点和（或）零点的传递函数，称为非 最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统， 反之，具有非最小相位传递函数的系统，称为非最小相位系统。 在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角 范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范 围，都大于最小相位传递函数的相角范围。 对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于 非最小相位系统则不是这种情况。 作为例子，考虑下列两个系统，它们的特性频率分别为： 1 1 1 1 ( ) j T j T G j ， 1 1 2 , 0 1 1 ( ) T T j T j T G j jω σ T 1 1 1 T 1 1 T jω σ T 1 图 5-18 最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图 如前所述，对于最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应 关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上
给定,则相角曲线被唯一确定,反之亦然。这个结论对于非最小相位系统 不成立。 180 Frequency(rad/sec) 图5-19G1(s)和G1(s)的相角特性G1(j0)G2(j) l19
119 给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然。这个结论对于非最小相位系统 不成立。 Bode Diagram Frequency (rad/sec) Phase (deg) Magnitude (dB) -20 -15 -10 -5 0 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180 -135 -90 -45 0 图 5-19 ( ) ( ) 1 1 G s 和G s 的相角特性 ( ) G1 j ( ) G2 j
100 160 图519G1(s)和G1(S)的相角特性 对于最小相位系统,相角在O=∞时变为-909(n-m)dB/dec,n为 极点数,m为零点数。两个系统的对数幅值曲线在O三时的斜率都等 于-20(n-m)dB/dec。因此,为了确定系统是不是最小相位的既需要检 查对数幅值曲线高频渐近线的斜率,又需检查在O=∞时相角。如果当 O=∞时对数幅值曲线的斜率为-20(n-m)dB/dlec,并且相角等于 90°(n-m)dB/dlec,那么该系统就是最小相位系统。 5.2.6传递延迟( Transport lag)Sepl90 传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施,高频时将造成严 重的相位滞后。这类传递延迟通常存在于热力、液压和气动系统中。 延迟环节的输入和输出的时域表达式为
120 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 图 5-19 ( ) ( ) 1 1 G s 和G s 的相角特性 对于最小相位系统，相角在 时变为 90(n m)dB / dec ，n 为 极点数，m 为零点数。两个系统的对数幅值曲线在 时的斜率都等 于 20(n m)dB / dec 。因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检 查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在 时相角。如果当 时对数幅值曲线的斜率为 20(n m)dB / dec ，并且相角等于 90(n m)dB / dec ，那么该系统就是最小相位系统。 5.2.6 传递延迟(Transport lag)See p190 传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施，高频时将造成严 重的相位滞后。这类传递延迟通常存在于热力、液压和气动系统中。 延迟环节的输入和输出的时域表达式为
c()=1(t-z)r(t-7) G(S) C(S) R(S) = e G(jo=e 其幅值总是等于1。这是因为 G(O=cosar-jsin or=1 因此,传递延迟的对数幅值等于0分贝。传递延迟的相角为 qp()=-0r(ra)=-57.30r(deg) 0 200 400 -600 10 图5-20传递延迟的相角特性曲线Ot 5.27系统类型与对数幅值之间的关系 考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述 了0型、1型和2型系统的低频特性。对于给定的系统,只有静态误差常数 是有限值,才有意义。当⑦趋近于零时,回路增益越高,有限的静态误差 121
121 c(t) 1(t )r(t ) s e R s C s G s ( ) ( ) ( ) j G j e ( ) 其幅值总是等于 1。这是因为 G( j) cos jsin 1 因此，传递延迟的对数幅值等于 0 分贝。传递延迟的相角为 () (rad ) 57.3 (deg) 10 -1 10 0 10 1 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 图 5-20 传递延迟的相角特性曲线 5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系 考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述 了 0 型、1 型和 2 型系统的低频特性。对于给定的系统，只有静态误差常数 是有限值，才有意义。当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差
常值就越大。 系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此,对于给定的输 入信号,控制系统是否存在稳态误差,以及稳态误差的大小,都可以从观 察对数幅值曲线的低频区特性予以确定 ①静态位置误差常数的确定 R(s) E(s) c(s) G(s) 图5-21单位反馈控制系统 考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。假设系统的开环传递函数为 K(7is+1)(2s+1)…(m2S+1) G(s)=s(1+WZ2s+1)…(Tn-ys+1) G(jo)=K(7io+)2/0+1)…(m/o+1) (o)(7ijo+1)(T2/o+1)…(Tn-jO+1) 图5-22为一个0型系统对数幅值曲线的例子。 在这个系统中,G()在低频段等于 Kn,即 linG(o)=Kp 由此得知,低频渐近线是一条幅值为20 log K分贝的水平线。 15 G(s) (S+1)(0.2s+1) cfl dB=23.52182518111362 cf2dB=9.54242509439325 cf3dB=-30.45757490560675
122 常值就越大。 系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输 入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观 察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。 静态位置误差常数的确定 + - R(s) E(s) C(s) G(s) 图 5-21 单位反馈控制系统 考虑图 5-21 所示的单位反馈控制系统。假设系统的开环传递函数为 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2 s T s T s T s K T s T s T s G s n m ( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2 j T j T j T j K T j T j T j G j n m 图 5-22 为一个 0 型系统对数幅值曲线的例子。 在这个系统中，G( j) 在低频段等于 K p ，即 K p G j lim ( ) 0 由此得知，低频渐近线是一条幅值为 K p 20log 分贝的水平线。 ( 1)(0.2 1) 15 ( ) s s G s cfl_dB = 23.52182518111362 cf2_dB = 9.54242509439325 cf3_dB = -30.45757490560675
.OlogK 20d b/dec 0 -40dB/dec 10 图5-22某一0型系统对数幅值曲线 ②静态速度误差常数的确定 考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。图5-23为一个1型系统对数幅值 曲线的例子。斜率为-20dB/dec的起始线段/或其延长线,与O=1 直线的交点具有的幅值为20l0gK,。这可证明如下 在1型系统中、8,D<1 Jo K 因此 20logl 20logk,斜率为-20dB/dec的起始线段/或其 延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于N。假设交点上的频率为 123
123 10 -1 10 0 10 1 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 20logK -20dB/dec -40dB/dec 图 5-22 某一 0 型系统对数幅值曲线 静态速度误差常数的确定 考虑图 5-21 所示的单位反馈控制系统。图 5-23 为一个 1 型系统对数幅值 曲线的例子。斜率为 20dB / dec 的起始线段/或其延长线，与 1的 直线的交点具有的幅值为 Kv 20log 。这可证明如下： 在 1 型系统中 ( ) , 1 j K G j v 因此 v v K j K 20log 20log 1 1 斜率为 20dB / dec 的起始线段/或其 延长线与 0 分贝线的交点的频率在数值上等于 Kv 。假设交点上的频率为
1,于是 O K 作为一个例子,考虑具有单位反馈的1型系统,其开环传递函数为: K G(s)= (s+ 如果定义转角频率为2,假设斜率为-40dB/dec的直线与/或其延长线 K 与0分贝线的交点为03 T,O1=K,=k 由此得到O102=03 即 在伯德图上,logO1-log3=logo3-logo2 因此,的3点恰好是O2点与O1点之间的中点。 124
124 1，于是 1 1 j Kv 即 Kv 1 作为一个例子，考虑具有单位反馈的 1 型系统，其开环传递函数为： ( 1) ( ) s Ts K G s 如果定义转角频率为2 ，假设斜率为 40dB / dec 的直线与/或其延长线 与 0 分贝线的交点为3 ， T 1 2 ， T K 2 3 ，1 Kv K 由此得到 2 12 3 即 2 3 3 1 在伯德图上， 1 3 3 2 log log log log 因此，3 点恰好是2 点与1点之间的中点
20dB dec 0 :40dB/deG\ 10 图5-23某个1型系统对数幅值曲线 cf2 dB 6.02059991327962 dB=26.02059991327962 cf3dB=-33.97940008672038 ③静态加速度误差常数的确定 考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。图5-24为一个2型系统对数幅值 曲线的例子。斜率为-40dB/dlc的起始线段/或其延长线,与O)=1 直线的交点具有的幅值为20 log K 由于低频时O)K9 O<<1 0) 所以 201og/K 20logK (O) 斜率为-40dB/dec的起始线段/或其延长线与0分贝线的交点的频率为
125 10 0 10 1 10 2 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 -20dB/dec -40dB/dec 图 5-23 某个 1 型系统对数幅值曲线 cf2_dB = 6.02059991327962 cf1_dB = 26.02059991327962 cf3_dB = -33.97940008672038 静态加速度误差常数的确定 考虑图 5-21 所示的单位反馈控制系统。图 5-24 为一个 2 型系统对数幅值 曲线的例子。斜率为 40dB / dec 的起始线段/或其延长线，与 1的 直线的交点具有的幅值为 Ka 20log 。 由于低频时 , 1 ( ) ( ) 2 j K G j a 所以 a a K j K 20log ( ) 20log 1 2 斜率为 40dB / dec 的起始线段/或其延长线与 0 分贝线的交点的频率为
a在数值上等于Ka的平方根。证明如下 K 20log:a、2|=20log1=0 于是Ua dB▲ 40dB/ dec 60dB/dec 20dB/ dec 0 O(对数坐标) 图5-242型系统对数幅值曲线 5.3极坐标图( Polar plot),幅相频率特性曲线,奈奎斯特曲线 频率特性是复数G(0)可用幅C(jo 和相角9()的向量表 示。当输入信号的频率O由零变化到无穷大时,向量G(o)的幅值和 相位也随之作相应的变化,其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。 在极坐标图上,正/负相角是从正实轴开始,以逆时针/顺时针旋转来定义 的。图5-25是这类极坐标图的一个例子
126 a 在数值上等于 Ka 的平方根。证明如下： 20log1 0 ( ) 20log 2 a a j K 于是a Ka ( 对数坐标 ) dB 40dB/dec 60dB/dec 20dB/dec 1 0 a Ka 图 5-24 2 型系统对数幅值曲线 5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线 频率特性是复数。 G( j) 可用幅值 G( j) 和相角 () 的向量表 示。当输入信号的频率 由零变化到无穷大时，向量G( j) 的幅值和 相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。 在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋转来定义 的。图 5-25 是这类极坐标图的一个例子
0 -3 Real Axis 图5-25极坐标图 G(O)的极坐标图上的每一点,都代表一个特定O值上的向量端点 G(/)在实轴和虚轴上的投影,就是G(jO)的实部和虛部。采用极坐 标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特 性。但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响。 5.3.1积分与微分因子 G(o 90° 所以G(o)= Jω的极坐标图是负虚轴。G(O)=jO的极坐标图是 正虚轴
127 -3 -2 -1 0 1 2 3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 Real Axis Im ag A xis 图 5-25 极坐标图 G( j) 的极坐标图上的每一点，都代表一个特定 值上的向量端点。 G( j) 在实轴和虚轴上的投影，就是 G( j) 的实部和虚部。采用极坐 标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特 性。但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响。 5.3.1 积分与微分因子 90 1 1 1 ( ) j j G j 所以 j G j 1 ( ) 的极坐标图是负虚轴。 G( j) j 的极坐标图是 正虚轴