西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（电子讲稿）线性系统的频域分析法（Frequency-response analysis）

第14讲 第5章线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3极坐标图( Polar plot)),幅相频率特性曲线,奈奎斯特曲线 5.3.1积分与微分因子 5.3.2一阶因子 5.3.3二阶因子 5.3.4传递延迟 5.4对数幅-相图( Nichols Chart)尼柯尔斯图 5.5奈奎斯特稳定判据( Nyquist Stability Criterion) 551预备知识 552影射定理 553影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 554奈奎斯特稳定判据 555关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 556G(s)H(s)含有位于JO上极点和/或零点的特殊情况 56稳定性分析 *56.1条件稳定系统 *562多回路系统 *56.3应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据 *564利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性 57相对稳定性 571通过保角变换进行相对稳定性分析 57.2相位裕度和增益裕度 例5-8一单位反馈控制系统的开环传递函数为 G(s) 式中K,T,T2和73均为正值。为使系统稳定,开环 (T12s2+72s+1)(T3s+1) 增益K与时间常数T1,72和73之间满足什么关系? 解 K G(O)= [712(o)2+72jo+1(T3jo+1)

152 第 14 讲 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线 5.3.1 积分与微分因子 5.3.2 一阶因子 5.3.3 二阶因子 5.3.4 传递延迟 5.4 对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图 5.5 奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 5.5.1 预备知识 5.5.2 影射定理 5.5.3 影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 5.5.4 奈奎斯特稳定判据 5.5.5 关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 5.5.6G(s)H(s) 含有位于 j 上极点和/或零点的特殊情况 5.6 稳定性分析 *5.6.1 条件稳定系统 *5.6.2 多回路系统 *5.6.3 应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据 *5.6.4 利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性 5.7 相对稳定性 5.7.1 通过保角变换进行相对稳定性分析 5.7.2 相位裕度和增益裕度 例 5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为 ( 1)( 1) ( ) 2 3 2 1 2     T T s T s T s K G s 式中 1 3 K,T ,T 2和T 均为正值。为使系统稳定，开环 增益K 与时间常数 1 3 T ,T 2和T 之间满足什么关系？ 解 ： [ ( ) 1]( 1) ( ) 2 3 2 1 2         T T j T j T j K G j

K T172T3(10)3+(T172+72T3)jO)2+(72+73) 1-72(T1+T3)02+(T2+3-T1T273o2)joD K-1-72(h+3)-(2+73-7230)/0此式太复杂利用上式直接令虚部 -72(T1+73) (T2+73-717273 2)2 为零即可。 2+7-727o2=0[T2+13虚部为零与负实轴相交于 V TT273 K K (jo) 1-72(T1+T3)o2 o=21-72(T1+73) √-72)2+(o2]1+(ro3 T2 P(o) 73 7172O2 (0+)=K-j0G(0∞)=-0+j0 画出一半利用对称性画出另一半。 1-2(+73)2 (Ti+73 72+73 K+1=1,72=2,73=3,K TT 15

153 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 2 3       T T T j T T T T j T T j K T T T  T T T T T  j K 1 ( ) ( ) 2 2 3 1 2 3 2  2 1  3     2 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 3 2 2 3 1 2 3 2 2 1 3 [1 ( ) ] ( ) 1 ( ) ( )       T T T T T T T T T T T T T T T T j K            此式太复杂利用上式直接令虚部 为零即可。 0 2 T2  T3  T1T2T3  1 2 3 2 3 T T T T T c     虚部为零与负实轴相交于 2 1 3 2 3 2 1 3 2 2 1 3 1 ( ) 1 ( ) ( ) T T T T T T T T K T T T K G j c c           ( ) 2 3 2 2 2 2 1 2 [(1 ) ( ) ][1 ( ) ] ( )       j e T T T T K G j          3 2 1 2 2 1 ( ) arctgT T T T arctg     G( j0)  K  j0 G( j)  0  j0 画出一半利用对称性画出另一半。 1 1 ( ) 2 1 3 2 3 2 1 3      T T T T T T T T K ( ) 1 1 3 2 3 1 3     K T T T T T T 1, 2, 3, 2 T1  T2  T3  K  1, 2, 3, 8 T1  T2  T3  K 

2 0 3 7 8 Real Axis 0 7 Real Axis 154

154 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Imag Axis -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Imag Axis

图5-45b例5-8题的极坐标图 G平面 K大时 K小时 图5-46G(jo) K(Tio+(T2o+)(m/+1)n>m的极坐标图 Go)(Tjo+lTJo+1).(Mm-yjo+D) 图5-46所示为3种具有不同开环增益值的G(j四)极坐标图。对于大 的K值,系统是不稳定的。当增益减小到一定值时,G(O)的轨迹通过 1+j0点。对于小的K值,系统是稳定的。 一般来说,G(o)的轨迹越接近与包围-1+j0-1+10点,系统响应的震 荡性越大。因此,G(jo)的轨迹对-1+j0点的靠近程度,可以用来度量稳 定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表 示

155 图 5-45b 例 5-8 题的极坐标图 Re Im 0  1 G平面 K大时 K小时 图 5-46 ( ) (( 1)( 1) ( 1)) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2                   j T j T j T j K T j T j T j G j n m   n  m的极坐标图 图５-46 所示为 3 种具有不同开环增益值的G( j) 极坐标图。对于大 的 K 值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，G( j) 的轨迹通过 1 j0点。对于小的 K 值，系统是稳定的。 一般来说，G( j) 的轨迹越接近与包围-1+j0 1 j0点，系统响应的震 荡性越大。因此，G( j) 的轨迹对1 j0点的靠近程度，可以用来度量稳 定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表 示

Positive Im plane Negative I Gain Margin Phase Margin G Plane Re G(o) Re G(o Positive Negative Phase Margin Gain Margin Stable System Unstable System Positive egative Gain Margin Gain Margin 0 180° 270 L Positive Phase Margin Negative Phase Margin Stable System Unstable System 图5-47稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度 ①相位裕度、相角裕度( Phase Margin)y 设系统的截止频率( Gain cross-over frequency)为a A(jOc)=G(jOC)H(jO =1 定义相角裕度为 y=180°+/G(o)H(o) 相角裕度的含义是,对于闭环稳定系统,如果开环相频特性再滞后γ度,则

156 Re Im h 1 G Plane   Positive Gain Margin Positive Phase Margin -1 1 Re Im h 1   Negative Gain Margin Negative Phase Margin -1 1 Stable System Unstable System G( j) G( j) G Plane 图 5-47 稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度 相位裕度、相角裕度(Phase Margin) 设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为c ( )  ( ) ( )  1 c c c A j G j H j 定义相角裕度为 180 ( ) ( ) c c     G j H j 相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度，则

系统将变为临界稳定。 当y>0时,相位裕量相位裕度为正值;当y1,则h(dB)>0增益裕度为正值;如 果h<1,则h(dB)<0增益裕度为负值。正增益裕度(以分贝表示)表示系统是 稳定的;负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。 对于稳定的最小相位系统,增益裕度指出了系统在不稳定之前,增益 能够增大多少。对于不稳定系统,增益裕度指岀了为使系统稳定,增益应 当较少多少。 阶或二阶系统的增益裕度为无穷大,因为这类系统的极坐标图与负 实轴不相交。因此,理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然, 阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的,因为在推导系统方程时,忽 略了一些小的时间滞后,因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及 这些小的滞后,则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。 57.3关于相位裕度和增益裕度的几点说明 控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度 的度量。因此,这两个裕度可以用来作为涉及准则。 只用增益裕度和相位裕度,都不足以说明系统的的相对稳定性。为了 确定系统的相对稳定性,必须同时给出这两个量。 对于最小相位系统,只有当相位裕度和增益裕度都是正值时,系统才 157

157 系统将变为临界稳定。 当  0 时，相位裕量相位裕度为正值；当  0时，相位裕度为负值。为了 使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为 0 分 贝和-180 度。180 增益裕度、幅值裕度(Gain Margin) h 设系统的穿越频率(Phase cross-over frequency) ( x )  G( j x )H ( j x )  (2k 1) ，k  0,1, 定义幅值裕度为 ( ) ( ) 1 x x G j H j h    幅值裕度h的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h 倍，则系统将变为临界稳定状态。 若以分贝表示，则有 ( ) 20log ( ) ( ) x x h dB   G j H j 当增益裕度以分贝表示时，如果h  1，则h(dB)  0 增益裕度为正值；如 果h  1，则h(dB)  0增益裕度为负值。正增益裕度(以分贝表示)表示系统是 稳定的；负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。 对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益 能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应 当较少多少。 一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负 实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一 阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽 略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及 这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。 5.7.3 关于相位裕度和增益裕度的几点说明 控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0 点靠近程度 的度量。因此，这两个裕度可以用来作为涉及准则。 只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了 确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。 对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才

是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防 止系统中元件变化造成的影响,并且指明了频率值。为了得到满意的性能, 相位裕度应当在30°与60°之间,增益裕度应当大于6分贝。 例5-9已知一单位反馈系统的开环传递函数为G(s)= K s(1+0.2s)(1+0.05s) 试求:⑩K=1时系统的相位裕度和增益裕度。②要求通过增益K的调整, 使系统的增益裕度20logh=20dB,相位裕度y≥40°。 解 o(o)=/G(o,)H(o,)=-180°o(m。)H(o)=1 q(ox)=-900-arcg0.20x-arcg0.050x=-180° g61±g62 即arcg020+ actg005mn=90°g(01±2)1g1g2 020+0050-=∞+1-0201×050,=0→0=10 1-0.20x×0.05x 在o处的开环对数幅值为 h(dB)=-20logG(jo, )H(O ) jo3(1+j0.2ox)(1+10.05 =20log10+20 )log v1+(02×10)2+20log√1+(005×10)2 20+7+1=28dB 根据K=1时的开环传递函数,可以求出截止频率( Gain cross-over frequency) 为 (o)H(o2) G(ao o(1+10.2o)(1+j0.050 a+00431+00203 g0.050c=-104 y=180°+9(02)=180°-104°=76° ②由题意知h=10|G(0)=01 1K=0.1×10√1+4√1+0.25=25 0.04)(1+0.00250x) 验证是否满足相位裕度的要求

158 是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防 止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能， 相位裕度应当在30与60之间，增益裕度应当大于 6 分贝。 例 5-9 已知一单位反馈系统的开环传递函数为 (1 0.2 )(1 0.05 ) ( ) s s s K G s    。 试求：K=1 时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益 K 的调整， 使系统的增益裕度 20logh=20dB，相位裕度  40。 解： ( )  ( ) ( )  180 x x x   G j H j ( ) ( ) 1 c c G j H j ( )  90  0.2  0.05  180 x x x   arctg  arctg  即 0.2  0.05  90 x x arctg  arctg  1 2 1 2 1 2 1 ( )       tg tg tg tg tg          x x x x     1 0.2 0.05 0.2 0.05 1 0.2  0.05  0  x  x   10  x 在x 处的开环对数幅值为 ( ) 20log ( ) ( ) x x h dB   G j H j (1 0.2 )(1 0.05 ) 1 20log x x x j  j  j   2 2  20 log10  20 log 1 (0.2 10)  20 log 1 (0.05 10)  20  7 1  28dB 根据 K=1 时的开环传递函数，可以求出截止频率(Gain cross-over frequency) 为c ( ) ( ) 1 c c G j H j (1 0.2 )(1 0.05 ) 1 ( ) c c c c     j j j G j    1 (1 0.04 )(1 0.0025 ) 1 2 2 c      c c 1 c  ( )  90  0.2  0.05  104 c c c   arctg  arctg   180  ( )  180 104  76  c   由题意知h  10 ( )  0.1 x G j 0.1 (1 0.04 )(1 0.0025 ) 2 2 x   x  x K    K  0.110 1 4 1 0.25  2.5 验证是否满足相位裕度的要求

根据y≥40°的要求,则得 q(o2)=-900-arcg0.20-arcg0.05c=-180°+40°=-140° arg0.20.+arcg005=50° 0.20+0.050 1-0.2O×0050 K o√(1+0402)1+000252) K=4×1.28×1.02=52 不难看出,K=2.5就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。 Bode diagram 180 Frequency(rad/sec)

159 根据  40的要求，则得： ( )  90  0.2  0.05  180  40  140 c c c   arctg  arctg  0.2  0.05  50 c c arctg  arctg  1.2 1 0.2 0.05 0.2 0.05     c c c c      4 c 1 (1 0.04 )(1 0.0025 ) 2 2 c   c  c K    K  41.281.02  5.2 不难看出，K  2.5就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。 Bode Diagram Frequency (rad/sec) Phase (deg) Magnitude (dB) -100 -80 -60 -40 -20 0 20 10 0 10 1 10 2 -270 -225 -180 -135 -90

Bode Diagram -225 quency(rad/sec) 图5-48例5-9的幅值裕度和相位裕度示意图 例5-10已知一单位反馈系统的开环对数幅频特性如图5-49所示(最小相 位系统)。试求:①所示所示单位反馈系统已知已知已知已知 例5-11设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小相位系统)。① 写出系统的开环传递函数②判别系统的稳定性③如果系统是稳定的,则求 r()=1时的稳态误差

160 Bode Diagram Frequency (rad/sec) Phase (deg) Magnitude (dB) -40 -30 -20 -10 0 10 20 10 0 10 1 -225 -180 -135 -90 图 5-48 例 5-9 的幅值裕度和相位裕度示意图 例 5-10 已知一单位反馈系统的开环对数幅频特性如图 5-49 所示（最小相 位系统）。试求：所示所示单位反馈系统已知已知已知已知 例5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小相位系统)。 写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的，则求 r(t)  t 时的稳态误差

图5-50最小相位系统的开环对数幅频特性 解:①由图得 K(1+j~) jo(1+j。(1+j 0.01 20lgK+20g11+(a,)2-201g11+( 20g1+(2=201g1 0.0l K×10 =1K=10G(s) 10(1+10s) 100×1 s(1+100s)(1+0.2s) ②由于是最小相位系统,因而可通过计算相位裕度γ是否大于零来判断系统 的稳定性。由图可知o=1。在O,处 1 0()=-90+a01c0-arc5=-104° 则得y=180°+(a2)=736°>0系统稳定 单位斜坡输入时,系统的稳态误差为en=k-=10=01 161

161 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -40 -20 0 20 40 60 80 图 5-50 最小相位系统的开环对数幅频特性 解：由图得 ) 5 )(1 0.01 (1 ) 0.1 (1 ( )      j j j K j G j     ) 20lg1 5 1 ) 20lg 1 ( 0.01 1 ) 20lg 1 ( 0.1 1 20lg 20lg 1 ( 2 2 2 K        1 100 1 10   K  K  10 (1 100 )(1 0.2 ) 10(1 10 ) ( ) s s s s G s     由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度 是否大于零来判断系统 的稳定性。由图可知  1 c 。在c 处        106.4 5 1 0.01 1 0.1 1 ( ) 90 arctg arctg arctg  c 则得  180  ( )  73.6  c  >>0 系统稳定 单位斜坡输入时，系统的稳态误差为 0.1 10 1 1    v ss K e