第四章线性系统的根轨迹法 (Root Locus 1根轨迹法的基本概念 42根轨迹绘制的基本法则 43广义根轨迹 44系统性能的分析
第四章 线性系统的根轨迹法 (Root Locus) 4—1 根轨迹法的基本概念 4—2 根轨迹绘制的基本法则 4—3 广义根轨迹 4—4 系统性能的分析
1根轨迹概念 根轨迹定义 指当开环系统某一参数从零到无穷变 化时,闭环特征根相应在s平面上变化的轨 迹
4—1 根轨迹概念 一 、根轨迹定义 指当开环系统某一参数从零到无穷变 化时，闭环特征根相应在s平面上变化的轨 迹
∵、根轨迹增益κ与开环增益K (1)开环传递函数的两种标准形式 尾1型: K:开环增益 G(SH(S K(1S+1)…(nS+1) s(T1s+1)…(Tn,S+1) y:系统类型 首1型: G(SH(S K(S--1)…(S-zn) S(S S 式中 1.2 为开环零点 P/=7,=12.,m-y,为开环极点 (2)K与的关系(=) K=- K
二、根轨迹增益K *与开环增益K （1）开环传递函数的两种标准形式： §尾1型： §首1型： 式中 为开环零点； 为开环极点； （2）K *与K的关系 系统类型 开环增益 : : ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 1 1 K s T s T s K s s G s H s n m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 * n m s s p s p K s z s z G s H s ,i 1,2, ,m, 1 z i i , 1,2, , , 1 j n T p j j * 1 1 ( ) ( ) K p z K n j j m i i
1+G(s)H(s)=0 、根轨迹方程 II(s-E G(s)H(s)=K”. ∏I II(s-=,) ISPIIIs-p (1)模值条件x*1 K s∏-P) (2)相角条件 2∠s-=)-9012s-p=2k+1元k=0
三、根轨迹方程 即 （1）模值条件 （2）相角条件 1 G(s)H(s) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * 1 n j j m i i s s p s z G s H s K K s z s s p m i i n j j 1 1 | | | | | | m i n j i j s z s p k k 1 1 ( ) 90 (2 1) 0, 1, 1 ( ) ( ) 1 * 1 n j j m i i s s p s z K
42绘制根轨迹的基本法则1教材5) 序号 内容 法 则 根轨迹的起点和终点根轨迹起于开环极点(包括无限极点),终于开环零点(包括无限零点) 根轨迹的分支 根轨迹的分支数等于开环极点数n(n>m),或开环零点数m(m>n) 数对称性和连续性根轨迹对称于实轴 nm条渐近线与实轴的交角和交点为 (2k+1)x (k=0,1 n- m 1) 根轨迹的渐近线 ∑A 0a n -m 根轨迹在实 实轴上某一区域,若其右方开环实数零极点个数之和为奇数则该区域必是 轴上的分布 根轨迹
4—2 绘制根轨迹的基本法则1(教材P151） 1 2 3 4
绘制根轨迹的基本法则2 序号 内容 法则 根物的分离条根轨速分支相通其分离点坐由2∑ 确定分离角 点和分离角 角 等于(2a+)x!特殊情况:无有限零点\=0 影始角:9,=(+×/b 根轨速的起始 角与终止角 止角;线=21x-(∑-4 7根孰蘧与虚的交点根孰蘧与虚籼交点的K'值和值.可利用劳恩判据确定 很之和 ∑=∑
绘制根轨迹的基本法则2 特殊情况：无有限零点 0 1 1 i n i d p
确定分离点的第二种方法: 令+G(s)H()=1+k2P(9)=()=0 Q(S) S K 令 dk =0,即得根轨迹的分离点或汇合点 特征方程有重根时,fs)与s轴的交点只有一个 那只能是〔s)~s的极值点。 而df(s)ds=0与dK*s=0具有相同的方程,故 而可用dK*/ds=0求解此分离点
确定分离点的第二种方法： • 特征方程有重根时，f(s)与s轴的交点只有一个， 那只能是f(s)～s的极值点。 • 而df(s)/ds =0与dK*/ds =0具有相同的方程，故 而可用dK*/ds=0求解此分离点。 令 即得根轨迹的分离点或汇合点。 令 ＋ 0, * , ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 1 G( ) ( ) 1 * * ds dK P s Q s K f s Q s P s s H s K
例4-1设单位反馈控制系统的开环传递函数为: K G(S) 试概略绘出相应的闭环根轨迹图 s(0.2s+1)(0.5+1) 解:G(s) K 10K S(0.2s+1)(0.55+1)s(S+5)(S+2) 习题集例4-2 k1=10X 下面绘制当K1从零变到无穷大时的闭环根轨迹图。 (1)根轨迹的起点就是开环传递函数的极点:0,-2, 5。 (2)依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为5 (3)计算分离点:1+- 0 s(S+5)(S+2) K1=-s(S+5)(S+2) d K1=0 s(S+5)S+2)+K1=0 (s3+7s2+10s) 3s2+14s+10=0 得S1≈-0832≈-3.78舍去) 所以,分离点为S=-0.88
设单位反馈控制系统的开环传递函数为： 试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 • 解： • 令 • 下面绘制当K1从零变到无穷大时的闭环根轨迹图。 （1）根轨迹的起点就是开环传递函数的极点：0，－2， －5。 （2）依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为 （3）计算分离点： • 令 • 得 （舍去） • 所以，分离点为 。 • (0.2 1)(0.5 1) ( ) s s s K G s ( 5)( 2) 10 (0.2 1)(0.5 1) ( ) s s s K s s s K G s K1 10K 0 2 5 ( 5)( 2) 0 0 ( 5)( 2) 1 1 1 s s s K s s s K ( 7 10 ) ( 5)( 2) 3 2 1 s s s K s s s 0 1 ds dK 3 14 10 0 2 s s 0.88, 3.78 s1 s2 s 0.88 习题集例4-2 例4-1
(4)计算渐近线与实轴的交点: ∑ 渐近线与实轴的夹角:180×(2+1)a=2 ≈-23 3 3 3 所以,渐近线与实轴的夹角为60°,180°,300°。 (5)确定根轨迹与虚轴的交点: 闭环特征方程: S(S+2)(s+5)+K1=0 令s=j代入上式有:s3+7s2+10s+K1=0 ·整理得: (K=7) √10 令实部、虚部分别等于零, 得方程组:(K1-72)+(100-03)=0 解该方程组得:K1-702=0 10a-3=0 依上面的分析可绘出相应的根轨迹图。 K=K,/10=7
（4）计算渐近线与实轴的交点： • 渐近线与实轴的夹角： • 所以，渐近线与实轴的夹角为 。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点： • 闭环特征方程： • 令 代入上式有： • 整理得： • 令实部、虚部分别等于零， • 得方程组： • 解该方程组得: 依上面的分析可绘出相应的根轨迹图。 2.3 3 7 3 3 1 i pi 3 180 (2 1) k 7 10 0 ( 2)( 5) 0 1 3 2 1 s s s K s s s K s j ( 7 ) (10 ) 0 2 3 K1 j 10 0 7 0 3 2 1 K /10 7 K K1 60 , 180 , 300
根轨迹例4-2(教材P50) 单位反馈系统开环传递函数为((s)56S+3)s2+2s+2) 绘制其根轨迹图。 1.5 K=816 a=1.095 1.0 05 3.0 05 1.0 1.5
根轨迹 例4-2（教材P150) • 单位反馈系统开环传递函数为 绘制其根轨迹图。 s(s 3)(s 2s 2) K G(s) 2 g
