西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（电子讲稿）线性系统的时域分析法（第9讲）.doc_大学文库

77 第 9 讲 3.5 线形定常系统的稳定性对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 1 分析系统的稳定性问题。 2 提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。 3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件 ①基本概念控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。例如：三轴摇摆台的飞车问题是控制系统不稳定、发散的一个典型实例。指令输入信号50/s走速率时，输出不跟踪指令，而是越走越快。陀螺会跟不上，力反馈拉不住。有关稳定性的定义和理论较多。 ⑴控制系统稳定性的严格定义和理论阐述是由俄国学者李雅普诺夫于 1892 年提出的，它主要用于判别时变系统和非线性系统的稳定性。 ⑵设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。由此可知：线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。如果脉冲响应函数是收敛的，即有 ( ) 0 lim   g t t (3-52) 表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的

78 由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于 1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。如同上节所假设的那样，令系统的闭环传递函数含有 q 个实数极点和 r 对复数极点，则式(3-46)可改写为 (3 53) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1              k nk nk r k j q j i m i S P S S K S Z G s s     式中 q  2r  n。式（3  53）用部分公式展开，得 q  2r  n q+2r=ny 用部分分式展开             r k k nk nk k k nk k nk k q j j j S S B S C S P A G s 1 2 2 2 1 2 ( ) 1 ( )        对上式取拉氏反变换，求得系统的脉冲响应函数为 ( ) [ cos 1 sin 1 ] , 0 (3 54) 2 2 1 1             g t  A e  B e t C e t nk k t k k q j r k nk t k p t j j k nk k nk         由式(3-54)可见，若 ( ) 0 lim   g t t 即系统稳定，则闭环特征方程式的根须都位于 S 的左半平面，每一个特征根不论是是实根还是复根都要具有负实部，这就是系统稳定的充要条件。如果系统的特征根中只要有一个正实根或一对实部为正的复数根，则其脉冲响应函数就是发散形式，系统永远不会再回到原有的平衡状态，这样的系统就是不稳定系统。 P52 物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。   稳定不稳定   0.4  4 t s  0 实际理论图 3-20 系统稳定性示意图以上讨论了在零输入系统的稳定性问题，人们也许会提出这样一个问题：即一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破

坏?回答是否定的。下面以单位阶跃函数,即R(s)=-,则系统的输出为 KI(S+S) G(s)=p(s)= S(S+P)(S2+250nS+0mk) 显然,上式就是上节所述的式(3-47),因而对应的单位阶跃响应表达式就是式(3-49) 由该式可见,等号右方第一项A是系统的稳态分量,它表示在稳态时,系统的输出量 c(完全受输入量r(舶的控制。第二、第三项为系统响应的瞬态分量,它们是由系统的结构和参数确定的。如果所研究的系统在零输入下是稳定的,即系统所有的特征根都具有负实部,则输出响应中各瞬态分量都将随着时间的推移而不断地衰减,经过充分长的时间后,系统的输出量最终将趋向于稳态分量的一个无限小的领域,系统进入稳态运行。这表明了一个在零输入下的稳定系统,在参考输入信号作用下仍能将继续保持稳定。综上所述,控制系统稳定与否完全取决于它本身的结构和参数,即取决于系统特征方程式根实部的符号,与系统的初始条件和输入无关。如果系统特征方程式的根都具有负实部,则系统是稳定的。反之,若系统特征方程式的根中有一个或一对以上实部为正的根, 则对应的瞬态分量将随着时间的推移而不断地增大,并成为输出响应的主要成分,而稳态分量与之相比都变得无足轻重了。显然,这种系统是不稳定的。如果系统特征方程式的根中有一对共轭虚根,其余的根均在S的左半平面,则对应的系统为临界稳定。此时系统的响应函数中含有等幅振荡的分量,基于系统的参数和外部环境的变化,这种等幅振荡不可能持久地维持下去,系统最后很可能会不稳定。因此,在控制工程中通常把临界稳定亦当作不稳定处理。 3.5.2劳斯稳定判据 3.5.2.1劳斯表线性系统稳定的充要条件是◇闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。能否找到一种不用求根而直接判别系统稳定性的方式,称为稳定判据。令系统的闭环特征方程为 a0S"+a1S"+a2S"2+…+an-1S+an=0a0>0 (3-55) 如果方程式的根都是负实部,或其实部为负的复数根,则其特征方程式的各项系数均为正值,且无零系数。证明、说明:设-P1-P2…为实数根,-a1±j1,-a2±jB2…为复数根

79 坏？回答是否定的。下面以单位阶跃函数，即 s R s 1 ( )  ，则系统的输出为 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 k nk nk r k j q j i m i S S P S S K S S G s s                 (3-47) 显然，上式就是上节所述的式(3-47)，因而对应的单位阶跃响应表达式就是式(3-49)。由该式可见，等号右方第一项 A0 是系统的稳态分量，它表示在稳态时，系统的输出量 c(t)完全受输入量r(t)的控制。第二、第三项为系统响应的瞬态分量，它们是由系统的结构和参数确定的。如果所研究的系统在零输入下是稳定的，即系统所有的特征根都具有负实部，则输出响应中各瞬态分量都将随着时间的推移而不断地衰减，经过充分长的时间后，系统的输出量最终将趋向于稳态分量的一个无限小的领域，系统进入稳态运行。这表明了一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍能将继续保持稳定。综上所述，控制系统稳定与否完全取决于它本身的结构和参数，即取决于系统特征方程式根实部的符号，与系统的初始条件和输入无关。如果系统特征方程式的根都具有负实部，则系统是稳定的。反之，若系统特征方程式的根中有一个或一对以上实部为正的根，则对应的瞬态分量将随着时间的推移而不断地增大，并成为输出响应的主要成分，而稳态分量与之相比都变得无足轻重了。显然，这种系统是不稳定的。如果系统特征方程式的根中有一对共轭虚根，其余的根均在 S 的左半平面，则对应的系统为临界稳定。此时系统的响应函数中含有等幅振荡的分量，基于系统的参数和外部环境的变化，这种等幅振荡不可能持久地维持下去，系统最后很可能会不稳定。因此，在控制工程中通常把临界稳定亦当作不稳定处理。 3.5.2 劳斯稳定判据 3.5.2.1 劳斯表线性系统稳定的充要条件是 闭环特征方程式的根必须都位于 S 的左半平面。能否找到一种不用求根而直接判别系统稳定性的方式，称为稳定判据。令系统的闭环特征方程为 0 0 (3 55) 1 0 2 2 1 0  1            a S a S a S a S a a n n n n n 如果方程式的根都是负实部，或其实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。证明、说明：设 p1 , p2 ,为实数根，1  j1 , 2  j 2 为复数根