2.4控制系统的方块图、信号流图与梅逊公式 控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。 2.4.1方块图元素 (1)方块( Block diagram):表示输入到输出单向传输间的函数关系。 c(t) R(s) 信号线 方块 图2-14方块图中的方块 信号线:带有箭头的直线,箭头表示信号的流向,在直线旁标记信号的时间函数或 象函数。 (2)比较点(合成点、综合点) Summing point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加,“-”表示相减。“+”号可省略不写。 T1 T1+T2 R(s) R(S-R(S) T2 R2(s) T3 T1 r1-T2+3 T2 图2-15比较点示意图 注意:进行相加减的量,必须具有相同的量刚。 (3)分支点(引出点、测量点) Branch point 表示信号测量或引出的位置
32 2.4 控制系统的方块图、信号流图与梅逊公式 控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。 2.4.1 方块图元素 （1）方块（Block Diagram）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。 R(s) G(s) C(s) 图2-14 方块图中的方块 信号线 方块 r(t) c(t) 信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或 象函数。 （2）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。 Υ + 1 Υ1+Υ2 Υ2 + - ( ) ( ) 1 2 R s R s ( ) 1 R s ( ) 2 R s Υ1 Υ1-Υ2+Υ3 Υ2 - Υ3 图2-15比较点示意图 注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。 (3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置
P(s c(s) G(s) G2(s) P(s) 图2-16分支点示意图 注意:同一位置引出的信号大小和性质完全一样。 242几个基本概念及术语 N(s) E(s) R(s) 1( G2(s) B(s) H(s) 打开反馈 图2-17反馈控制系统方块图 (1)前向通路传递函数假设N(s)=0 打开反馈后,输出C(s)与R(s)之比。在图中等价于C(s)与误差E(s)之比。 C)=G(sG2()=G(s) E(s) (2)反馈回路传递函数 Feedforward Transfer function假设N(s=0 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比 B(S)_H(s) C(s) (3)开环传递函数 Open-loop Transfer Function假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。 33
33 图2-16 分支点示意图 P(s) R(s) P(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 G s 注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。 2.4.2 几个基本概念及术语 + + H(s) - + R(s) E(s) B(s) N(s) 打开反馈 ( ) 1 G s ( ) 2 G s 图2-17 反馈控制系统方块图 (1) 前向通路传递函数 假设 N(s)=0 打开反馈后，输出 C(s)与 R(s)之比。在图中等价于 C(s)与误差 E(s)之比。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 G s G s G s E s C s (2) 反馈回路传递函数 Feedforward Transfer Function 假设 N(s)=0 主反馈信号 B(s)与输出信号 C(s)之比。 ( ) ( ) ( ) H s C s B s (3) 开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设 N(s)=0 主反馈信号 B(s)与误差信号 E(s)之比
B(S)=G, (SG, (SH(S)=G(S)H(s) E(s) (4)闭环传递函数 Closed- loop Transfer Function假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。 C(s) G,(sG,(s) R(S) 1+H(sG(s) 1+ H(SG(s) 推导:因为C(s)=E(Ss)G(s)=[R(s)-C(s)H(s)G(s) 右边移过来整理得C(S)=G(S) R(s) 1+H(SG(s G(s)前向通路传递函数 R(s)1+H(s)G(s)1+开环传递函数 (5)误差传递函数假设N(s)=0 误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。 将C(s)=E(s)G(s)代入上式,消去G(s)即得 E(S) R(s)1+H(s)G(s)1+开环传递函数 (6)输出对扰动的传递函数假设R(s)=0 N(s) G2(s) G1(s) H(s) 图2-18输出对扰动的结构图 由图21,利用公式料,直接可得:M、(s)=C6)=c2(8) N(S) 1+G(S)H(S) (7)误差对扰动的传递函数假设R(s)=0 N(s) G,(s) E(s) 图2-19误差对扰动的结构图
34 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 G s G s H s G s H s E s B s (4) 闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设 N(s)=0 输出信号 C(s)与输入信号 R(s)之比。 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 H s G s G s H s G s G s G s R s C s 推导：因为C(s) E(s)G(s) [R(s) C(s)H(s)]G(s) 右边移过来整理得 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H s G s G s R s C s 即 开环传递函数 前向通路传递函数 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) H s G s G s R s C s ** (5) 误差传递函数 假设 N(s)=0 误差信号 E(s)与输入信号 R(s)之比。 将C(s) E(s)G(s)代入上式，消去 G(s)即得： 开环传递函数 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) R s H s G s E s (6) 输出对扰动的传递函数 假设 R(s)=0 - N(s) C(s) H(s) ( ) 2 G s ( ) 1 G s 图 2-18 输出对扰动的结构图 由图 2-18，利用公式**，直接可得： 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 G s H s G s N s C s M s N (7) 误差对扰动的传递函数 假设 R(s)=0 N(s) H(s) E(s) ＋ ( ) 1 G s ( ) 2 G s -1 图 2-19 误差对扰动的结构图
由图2-19,利用公式**,直接可得 MN(S-E(s)_-G2()H(S) N(S) 1+G(S)H(S) 线性系统满足叠加原理,当控制输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时,系统的 输出及误差可表示为: C(S=G(S)R(s)+- G2 (S)N() 1+G(s)H(S) 1+G(s)H(s) E(S)= R(S) G2(S)H(s) N(s) 1+G(s)H(s) 1+G(s)H(s) 注意:由于N(s)极性的随机性,因而在求E(s)时,不能认为利用N(s)产生的误差可抵 消R(s)产生的误差。 2.4.3方块图的绘制 (1)考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数,并将它们用方框(块) 表示 (2)根据各元部件的信号流向,用信号线依次将各方块连接起来,便可得到系统的方 块图 系统方块图一也是系统数学模型的一种 例2-8画出下列RC电路的方块图。 C 图2-20一阶RC网络 解:由图2-20,利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得 2=Ja对其进行拉氏变换1=(-(0 R R Uci_I(s) 由(1)和(2)分别得到图(b)和(c)
35 由图 2-19，利用公式**，直接可得： 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 G s H s G s H s N s E s M s NE 线性系统满足叠加原理，当控制输入 R(s)与扰动 N(s)同时作用于系统时，系统的 输出及误差可表示为： ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 N s G s H s G s R s G s H s G s C s ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 N s G s H s G s H s R s G s H s E s 注意：由于 N(s)极性的随机性，因而在求 E(s)时，不能认为利用 N(s)产生的误差可抵 消 R(s)产生的误差。 2.4.3 方块图的绘制 （1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块） 表示。 （2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方 块图。 系统方块图-也是系统数学模型的一种。 例 2-8 画出下列 RC 电路的方块图。 R C i （a） ui uo 图 2-20 一阶 RC 网络 解：由图 2-20，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得： c idt u R u u i o i o 对其进行拉氏变换得： (2) ( ) ( ) (1) ( ) ( ) ( ) sC I s U s R U s U s I s o i o 由（1）和（2）分别得到图（b）和(c)
U(S IO R I(s). SC (b) (c) 将图(b)和(c)组合起来即得到图(d),图(d)为该一阶RC网络的方块图。 I(s) U(s) R SC U(s) (d) 例29画出下列RC网络的方块图。 R1 R, (a)电路图 R, U(s) R, U,(s) U2(s) 1(s) C112(s) (b)运算电路图 解:(1)根据电路定理列出方程,写出对应的拉氏变换,也可直接画出该电路的运算电 路图如图(b);(2)根据列出的4个式子作出对应的框图;(3)根据信号的流向将各方框 依次连接起来
36 （b） Ui(s) I(s) U (s) o I(s) （c） U (s) o 将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶 RC 网络的方块图。 － I(s) （d） U (s) o U (s) o U (s) i 例 2-9 画出下列 R-C 网络的方块图。 (a) 电路图 r u 1 i 2 i R1 R2 c u C1 C2 (b) 运算电路图 R1 ( ) R2 1 U s C U (s) r U (s) c ( ) 1I s ( ) 2 I s 1 1 sC 2 1 sC 解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电 路图如图(b)；（2）根据列出的 4 个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框 依次连接起来
U(s)-Uc(s) 1(s) (1) R1 c(o)=f(s)-12(s) (2) SC Uc(s)-U(s) 12(s) R, 12(s) (s) U,(s) U(s) C B Uc(s) U(s (c)方块图 图2-21二阶RC网络 根据公式(1)(4),分别画出对应的方块图,如图()中虚线框所示。 由图清楚地看到,后一级R2C2网络作为前级R1-C1网络的负载,对前级R1C1网络 的输出电压u产生影响,这就是负载效应。 如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器, 如图222所示。则此电路的方块图如图(b)所示。 R 隔离放大器 l 图2-22带隔离放大器的两级RC网络 U(s) U(s)
37 (4) ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 sC I s U s R U s U s I s sC I s I s U s R U s U s I s c C c C r C - - - C B ① ② ③ ④ A （c）方块图 1 1 sC 2 1 sC ( ) 1 U s C U (s) r ( ) 1I s U (s) c U (s) c ( ) 2 I s 1 1 R 2 1 R ( ) 1 U s C 图 2-21 二阶 RC 网络 根据公式(1)~(4)，分别画出对应的方块图，如图(c)中虚线框所示。 由图清楚地看到，后一级 R2-C2网络作为前级 R1-C1网络的负载，对前级 R1-C1网络 的输出电压 1c u 产生影响，这就是负载效应。 如果在这两极 R-C 网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器， 如图 2-22 所示。则此电路的方块图如图(b)所示。 图2-22 带隔离放大器的两级RC网络 隔 离 放 大 器 R1 R2 ur C1 C2 uc （a） K 1 1 R 2 1 1 R 1 sC 2 1 sC U (s) r U (s) c
244方块图的简化—一等效变换 为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数,通常需要对方块图进行等效变 换。方块图的等效变换必须遵守一个原则,即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。 在控制系统中,任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式 连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。 (1)串联连接 R(s) U2(s) c(s)R(s C(s) G1(s) G2(s) G3(S) G (s) (b) 图2-23环节的串联连接 在控制系统中,常见几个环节按照信号的流向相互串联连接。 特点:前一环节的输出量就是后一环节的输入量。 U1(s)=G1(s)R(s) (s)U/1(s)=G2(s)G1(s)R( C(s)=G,(sU2(S)=G3(SG2(SG,(S)R(S) =G1(s)G2(s)G3(s)=G(s) R(S 结论:串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。 )=∏G(s) 式中,n为相串联的环节数。 (2)并联连接 G1( C(S) R(s C G C G3(S) C3(s) R(s) c(s) G(s) 图2-24环节的并联连接 特点:各环节的输入信号是相同的,均为R(s),输出C(s)为各环节的输出之和
38 2.4.4 方块图的简化——等效变换 为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变 换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。 在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式 连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。 （1）串联连接 R(s) C(s) （a） ( ) 1 U s ( ) 2 U s ( ) 1 G s ( ) 2 G s ( ) 3 G s R(s) G(s) C(s) （b） 图 2-23 环节的串联连接 在控制系统中，常见几个环节按照信号的流向相互串联连接。 特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 1 2 2 1 2 1 1 1 C s G s U s G s G s G s R s U s G s U s G s G s R s U s G s R s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 G s G s G s G s R s C s 结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。 n i i G s G s 1 ( ) ( ) 式中，n 为相串联的环节数。 （2）并联连接 （a） R(s) ( ) C(s) 2 G s ( ) 1 G s ( ) 3 G s ( ) 2 C s ( ) 1 C s ( ) 3 C s G(s) （b） R(s) C(s) 图 2-24 环节的并联连接 特点：各环节的输入信号是相同的，均为 R(s)，输出 C(s)为各环节的输出之和
即 C(s)=C1(s)+C2(s)+C3(s) =G(S)R [G1(s)+G2(s)+G3(s)R(s) G1(s)+G2(s)+G3(s)=G(s) R(S) 结论:并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。即: s)=∑G(s) 式中,n为相并联的环节数,当然还有“-”的情况 (3)反馈连接 R(s) E(s) C(s) G(s) R(s) G(s) C(s) Bs H(S) 1+G(s)H(s) (b) 图2-25环节的反馈连接 (4)比较点和分支点(引出点)的移动 有关移动中,“前”、“后”的定义:按信号流向定义,也即信号从“前面”流向“后面”, 而不是位置上的前后。 R(s) C(s) G(s) RO G(s) 比较点前移 比较点后移 Q(s) P放大→缩小 P缩小→放大 C(s) G(s) R(s) G(s) G Q(s) G(s)
39 即: [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 G s G s G s R s G s R s G s R s G s R s C s C s C s C s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 G s G s G s G s R s C s 结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。即： ( ) ( ) 1 G s G s n i i 式中，n 为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。 （3）反馈连接 （a） R(s) C(s) G(s) H(s) ＋－ E(s) B(s) （b） R(s) C(s) 图 2-25 环节的反馈连接 （4）比较点和分支点（引出点）的移动 有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”， 而不是位置上的前后。 R(s) C(s) ＋ G(s) Q(s) 比较点前移 比较点后移 R(s) C(s) G(s) ＋ Q(s) 放大缩小 缩小放大 G(s) R(s) C(s) G(s) ＋ Q(s) C(s) R(s) G(s) G(s) ＋ Q(s)
C(s)=R(s)G(s)±Qs) C(S=[R(S)+O(sJG(s) [R()+@(s) (s) =R(s)G(s)±Q(s)G(s) 图2-26比较点移动示意图 R(s) G(s) C(s) R(s) G(S) R(s 分支点(引出点)前移 分支点(引出点)后移 R(s) G(s) C(s) G(s) R(s G(s) C(s) G(s) r(s C(S)=R(SG(s 右R(s)=R(s)G(s)=R(s)左 图2-27分支点移动示意图 例2-10用方块图的等效法则,求图2-28所示系统的传递函数C(s)/R(s)。 A C( B 图2-28多回路系统方块图 解:这是一个具有交叉反馈的多回路系统,如果不对它作适当的变换,就难以应用串联 并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B
40 ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s G s Q s R s C s R s G s Q s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) R s G s Q s G s C s R s Q s G s 图 2-26 比较点移动示意图 R(s) 分支点（引出点）前移 G(s) C(s) C(s) 分支点（引出点）后移 R(s) G(s) R(s) C(s) C(s) R(s) G(s) G(s) C(s) R(s) G(s) R(s) C(s) R(s)G(s) 右 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) R s G s R s R s G s 左 图 2-27 分支点移动示意图 例 2-10 用方块图的等效法则，求图 2-28 所示系统的传递函数 C(s)/R(s)。 R(s) A - B C(s) G1 G2 G3 G4 H1 H2 - C 图 2-28 多回路系统方块图 解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、 并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点 A 先前移至 B
点,化简后,再后移至C点,然后从内环到外环逐步化简,其简化过程如下图 R(s) HIG FI. G5=G2G3+G4串联和并联 反馈公式 GG 1+G5H2 GG 反馈公式 1+G,,G2 G1H1G21+G、H2+G1HG2 1+G2H C(s) G,Gs G1(G2G3+G4) R( G5H2+G1H1G2+GG51+(G2G3+G4G1+H2)+G1H1G2 例2-11将例2-9的系统方块图简化。 U,(s) U(g)③ ……:\(s):U(s) R A B Uc(s) (c)方块图 分支点A后移(放大→缩小),比较点B前移(放大→>缩小)。比较点1和2交换
41 点，化简后，再后移至 C 点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。 R(s)- - - C(s) G1 H2 G5 G6 G7 H1G2 5 1 G G5 G2G3 G4 串联和并联 5 2 5 6 1 G H G G 反馈公式 5 2 1 1 2 1 5 5 2 1 1 2 5 2 1 5 5 1 6 1 2 1 6 7 1 1 1 1 1 1 G H G H G G G G H G H G G H G G G G G H G G G G 反馈公式 2 3 4 1 2 1 1 2 1 2 3 4 5 2 1 1 2 1 5 1 5 7 7 1 ( )( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) G G G G H G H G G G G G G H G H G G G G G G G G s R s C s 例 2-11 将例 2-9 的系统方块图简化。 - - - C B ① ② ③ ④ A （c）方块图 1 1 sC 2 1 sC ( ) 1 U s C U (s) r ( ) 1I s U (s) c U (s) c ( ) 2 I s 1 1 R 2 1 R ( ) 1 U s C 分支点 A 后移（放大->缩小），比较点 B 前移（放大->缩小）。比较点 1 和 2 交换