西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（电子讲稿）频域分析法（第10讲，2/2）

第5章线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 幅相曲线对数频率特性曲线 5.2典型环节的幅相曲线 5.3稳定裕度和判据 已经学习了用线性常微分方程和传递函数描述线性定常系统,这两种 模型分别在时域和复频域中对系统进行了描述。下面介绍一种数学模型一 一频率特性函数,这种模型是对系统的一种频域刻画,在系统分析中有重 要作用。①判断系统是否稳定,②稳定程度一一稳定裕度。 应用频率特性硏究线性系统的经典方法称为频域分析法。(是以传递函 数为基础的又一种图解法。与根轨迹法相比较,根轨迹法是一种非常实用 的求取闭环特征方程式根的图解法,特别对于高阶系统)。 与其他方法相比较,频率响应法还具有如下特点 (1)频率特性具有明确的物理意义,它可以用实验的方法来确定,这 对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说,具有重要的实际意义。 (2)由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析, 因而具有形象直观和计算量少的特点。 (3)频率响应法不仅适用于线性定常系统,而且还适用于传递函数不 是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。 5.1频率特性及其表示法 5.1.1频率特性的基本概念 频率特性又称频率响应,它是系统(或元件)对不同频率正弦输入信号的 响应特性。设线性系统的输入为一频率为的正弦信号,在稳态时,系统的 输出具有和输入同频率的正弦函数,但其振幅和相位一般均不同于输入量, 且随着输入信号频率的变化而变化,如图5.1所示。 线性系统 图

97 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法 幅相曲线 对数频率特性曲线 5.2 典型环节的幅相曲线 5.3 稳定裕度和判据 已经学习了用线性常微分方程和传递函数描述线性定常系统，这两种 模型分别在时域和复频域中对系统进行了描述。下面介绍一种数学模型— —频率特性函数，这种模型是对系统的一种频域刻画，在系统分析中有重 要作用。判断系统是否稳定，稳定程度——稳定裕度。 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。（是以传递函 数为基础的又一种图解法。与根轨迹法相比较，根轨迹法是一种非常实用 的求取闭环特征方程式根的图解法，特别对于高阶系统）。 与其他方法相比较，频率响应法还具有如下特点： （1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这 对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 （2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析， 因而具有形象直观和计算量少的特点。 （3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不 是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。 5.1 频率特性及其表示法 5.1.1 频率特性的基本概念 频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的 响应特性。设线性系统的输入为一频率为的正弦信号，在稳态时，系统的 输出具有和输入同频率的正弦函数，但其振幅和相位一般均不同于输入量， 且随着输入信号频率的变化而变化，如图 5.1 所示。 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 线性系统 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 图

红输入,蓝全噬,黑稳态 yss(t) -6 y() 红输入,蓝一全,黑-稳态幢 0 -0.5 15 2 图5.2例5.1的输入u(t),全响应y(t)和稳态响应ysst

98 0 1 2 3 4 5 6 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 t/s 幅值 u(t) y(t) yss(t) 红—输 入 ，蓝 —全 响应，黑—稳态响应 0 1 2 3 4 5 6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 t/s 幅值 u(t) y(t) yss(t) 红—输 入 ，蓝 —全 响应，黑—稳态响应 图 5.2 例 5.1 的输入 u(t)，全响应 y(t)和稳态响应 yss(t)

考虑系统传递函数为G(s)= 10s+50 s2+4s+3 l()=2cos(5t+30°)(1)=2co(201+30°) 设系统的传递函数为CS=G(=2(s) (s) 已知输入r(o)=Asm(am),其拉氏变换Rs)=,,,A为常量,则系统输出 s2+m2 为 C(S=G(SR(s) U(s A0 (s)s2+o2 (s) A (5-1) (s+p1(s+P2)…(s+pn)s2+ 式中,-p1-P2…-Pn为G(s)的极点。对于稳定系统,这些极点都位于s平 面的左方,即它们的实部均为负值。为简单起见,令G③)的极点均为相异 的实数极点,则式(5-1)改写为 C(S)=>b,- (5-2) =IS+Pi s+J@ $-Jo a,a和b(=12,…m)均为待定系数。对上式取拉氏反变换,求得 ie P 当1→时,系统响应的瞬态分量∑b"趋向于零,其稳态分量为 其中系数由下式确定 A a=G(s) (s+jo)s=-jo G(jo) (+0)=0(-/o)2(55) =G() jo)in =G(jo) (5-6) (s+jo(s-jo) 由于G(o)是一个复数向量,因而可表示为 G(o)=(o)+jb(o) =G(o) =A()e/(o) (5-7) c(o)+jd(o) 因为G(S)的分子和分母多项式为实系数,故a(o)和c(o)为关于o的偶次幂实

99 考虑系统传递函数为 4 3 10 50 ( ) 2     s s s G s u(t)  2cos(5t  30) u(t)  2cos(20t  30) 设系统的传递函数为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V s U s G s R s C s   已知输入r(t)  Asin(t)，其拉氏变换 2 2 ( )     s A R s ，A 为常量，则系统输出 为 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      s A V s U s C s G s R s 2 2 1 2 ( )( ) ( ) ( )         s A s p s p s p U s  n (5-1) 式中， n  p , p , p 1 2 为 G(s)的极点。对于稳定系统，这些极点都位于 s 平 面的左方，即它们的实部均为负值。为简单起见，令 G(s)的极点均为相异 的实数极点，则式(5-1) 改写为  s j a s j a s p b C s n i i i        1 ( ) (5-2) a, a b (i 1,2, n) 和 i   均为待定系数。对上式取拉氏反变换，求得        n i p t i j t j t i c t ae ae b e 1 ( )   (5-3) 当t   时，系统响应的瞬态分量   n i p t i i b e 1 趋向于零，其稳态分量为 j t j t t c t ae ae       ( ) (5-4) 其中系数由下式确定 j A s j G j s j s j A s j G j s A a G s s j s j 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2                         (5-5) j A s j G j s j s j A s j G j s A a G s s j s j 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2                      (5-6) 由于G( j) 是一个复数向量，因而可表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        G j j G j e c jd a jb G j     ( ) ( )    j  A e (5-7) 因为 G(s)的分子和分母多项式为实系数 ，故a()和c()为关于 的偶次幂实

系数多项式,b()和d(a)为关于o的奇次幂实系数多项式,即a(o)和c(a)为o 的偶函数,b(o)和d()为o的奇函数。 (jo)2=jo(jo)2=-02(o)3=-jo3(j)4=o 02n+1n=0,2,4 0,2,4, (5-8) jn2+1n=135,… -o2n1n=135 a2(o)+b2(o) Vc2(o)+d(o) (5-9) G(a argtg o)arge (o) (5-10) a(o G(-/0)=a(O)-0)=(Go =A(O)eo)(5-1) co)-jd(o) /G(m)(5-12) O 将式(5-5)、式(56)、式(5-7)和式(5-11)代入式(5-4),求得 c()=aem+ae/m=A(o)eob-m-+A(o)emoa4=A(o)Asm(om+9(o) (5-13) 以上证明了线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号 其输出与输入的幅值比为A(o)=G(o),输出与输入的相位差 Po) 下面以RC电路为例,说明频率特性的物理意义。图5-3所示电路的 传递函数为 C 图5-3RC电路 Uo(s) G(s)= 1+ RO 设输入电压u1()=Asin(on),由复阻抗的概念求得 100

100 系数多项式，b()和d()为关于 的奇次幂实系数多项式，即a()和c()为 的偶函数，b()和d()为 的奇函数。                                1,3,5, 0,2,4, ( ) 1,3,5, 0,2,4, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 n n j n n j j j j j j j j j n n n n n n               (5-8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2      c d a b G j    (5-9) ( ) ( ) arg ( ) ( ) arg ( )      c d tg a b tg G j   (5-10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )        G j j G j e c jd a jb G j       ( ) ( )    j A e   (5-11)        ( ) ( ) ( ) ( )      G j A G j G( j) (5-12) 将式(5-5) 、式(5-6)、 式(5-7)和 式(5-11)代入式 (5-4)，求得 ( ) sin( ( )) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )                         A A t j A A e e j A c t ae ae A e e j t j t j j t j j t (5-13) 以上证明了线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号， 其 输 出 与 输 入 的 幅 值 比 为 A()  G( j) ， 输 出 与 输 入 的 相 位 差 ( ) ( )    G j  。 下面以 R-C 电路为例，说明频率特性的物理意义。图 5-3 所示电路的 传递函数为 R 图5-3 R-C电路 C ui uo RCs G s U s U s io    1 1 ( ) ( ) ( ) (5-14) 设输入电压u (t) Asin( t) i   ，由复阻抗的概念求得

U。(o) =G(o) (5-15) U1(j) 1+RCo 1+Tjo 如上所述,G(jo)可以改写为 式中 P(o)=-arctgT@ G(O)称为电路的频率特性。显然,它由该电路的结构和参数决定,与输 入信号的幅值与相位无关。G(o)是G(o)的幅值,它表示在稳态时,电路 的输出与输入的幅值之比。(o)是G(jm)的相角,它表示在稳态时,输出信 号与输入信号的相位差。由于G(0)和叭()都是输入信号频率o的函数,故 它们分别被称为电路的幅频特性和相频特性。 综上所述,式(5-15)所示频率特性的物理意义是:当一频率为的正弦信号 加到电路的输入端后,在稳态时,电路的输出与输入之比;或者说输出与 输入的幅值之比和相位之差。 09 08 ======4====== 0.7 1------L 0.5 0.5 1522533.54455 (a)幅频特性

101      RCj Tj G j U j U j io      1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) (5-15) 如上所述，G( j) 可以改写为 ( ) ( ) ( )     j G j  G j e (5-16) 式中，T  RC ； 2 2 1 1 ( )   T G j   ； ()  arctgT G( j) 称为电路的频率特性。显然，它由该电路的结构和参数决定，与输 入信号的幅值与相位无关。 G( j) 是G( j) 的幅值，它表示在稳态时，电路 的输出与输入的幅值之比。() 是G( j) 的相角，它表示在稳态时，输出信 号与输入信号的相位差。由于 G( j) 和() 都是输入信号频率 的函数，故 它们分别被称为电路的幅频特性和相频特性。 综上所述，式 (5-15)所示频率特性的物理意义是：当一频率为 的正弦信号 加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比；或者说输出与 输入的幅值之比和相位之差。 (a) 幅频特性

(a) -+1# 05115 2533544.55 (b)相频特性 图5-4RC电路的频率特性 比较式(5-14)、(5-15),可见频率特性与传递函数具有十分相似的形式,只 要把传递函数中的s用j代之,就得到系统(元件)的频率特性,即有 G(jo)=G(s)I (5-17) 微分 方程 传递 频率 函数 系统 特性 图5-5频率特性、传递函数和微分方程三种描述之间的关系

102 (b)相频特性 图 5-4 R-C 电路的频率特性 比较式(5-14) 、(5-15)，可见频率特性与传递函数具有十分相似的形式，只 要把传递函数中的s 用 j 代之，就得到系统（元件）的频率特性，即有   s j G j G s  ( )  ( ) (5-17) 频率 特性 传递 系统 函数 微分 方程 s  j p j   p s  dt d p  图 5-5 频率特性、传递函数和微分方程三种描述之间的关系

5.1.2频率特性的表示法 (1)对数坐标图( Bode diagram or logarithmic plo) (2)极坐标图 Polar plo) (3)对数幅相图( Log-magnitude versus phase plo (1)对数坐标图( Bode diagram or logarithmic plot) 对数频率特性。 对数频率特性曲线,由两张图组成:一张是对数幅频特性,它的纵坐标 为20ogG0o),单位是分贝,用符号dB表示。20lgG(0)常用L(o)表示。 另一张是相频特性图。它的纵坐标为(),两张图的纵坐标均按线性分度, 横坐标是角速率o,采用1g(o)分度(为了在一张图上同时能展示出频率特 性的低频和高频部分)。故坐标点O不得为零。1到10的距离等于10到 100的距离,这个距离表示10倍频程,用dec表示。 优点:①幅频特性的乘除运算转变为加减运算。②对系统作近似分析时 只需画出对数幅频特性曲线的渐进线,大大简化了图形的绘制。③用实 验方法,将测得系统(或环节)频率响应ω→0~∞得数据画在半对数坐 标纸上。根据所作出的曲线,估计被测系统的传递函数。 (2)极坐标图( Polar plot),幅相频率特性曲线,幅相曲线 频率特性是复数。G(o)可用幅值lG(o)和相角叭(o)的向量表示。当输入 信号的频率o由变化时,向量G(o)的幅值和相位也随之作相应的变 化,其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。这种图形主要用于对 闭环系统稳定性的研究,奈奎斯特( N Nyquist)在1932年基于极坐标图阐 述了反馈系统稳定性的论证。利用开环频率特性硏究闭环系统的稳定 性,而不必解出特征根。为纪念他对控制系统作出的贡献,这种图又名 奈奎斯特曲线,简称奈氏图。 5.2典型环节频率特性曲线的绘制 5.2.0典型环节 最小相位系统 ①比例环节KK>0 ②惯性环节1/Ts+1)(T>0) ③一阶微分环节Ts+1(T>0) ④振荡环节1(s2/o2+25s/on+1)(on>0,0≤5≤1); 二阶微分环节s2/o2+25/on+1(on>0,0≤5≤1); 103

103 5.1.2 频率特性的表示法 (1)对数坐标图(Bode diagram or logarithmic plot) (2)极坐标图(Polar plot) (3)对数幅相图(Log-magnitude versus phase plot) (1)对数坐标图(Bode diagram or logarithmic plot) 对数频率特性。 对数频率特性曲线，由两张图组成：一张是对数幅频特性，它的纵坐标 为20log G( j) ，单位是分贝，用符号dB表示。20log G( j) 常用L()表示。 另一张是相频特性图。它的纵坐标为()，两张图的纵坐标均按线性分度， 横坐标是角速率 ，采用lg()分度(为了在一张图上同时能展示出频率特 性的低频和高频部分)。故坐标点 不得为零。1 到 10 的距离等于 10 到 100 的距离，这个距离表示 10 倍频程，用 dec 表示。 优点：幅频特性的乘除运算转变为加减运算。对系统作近似分析时， 只需画出对数幅频特性曲线的渐进线，大大简化了图形的绘制。用实 验方法，将测得系统（或环节）频率响应  0 ~ 得数据画在半对数坐 标纸上。根据所作出的曲线，估计被测系统的传递函数。 (2)极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，幅相曲线 频率特性是复数。G( j) 可用幅值 G( j) 和相角() 的向量表示。当输入 信号的频率 由变化时，向量G( j) 的幅值和相位也随之作相应的变 化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。这种图形主要用于对 闭环系统稳定性的研究，奈奎斯特(N.Nyquist)在 1932 年基于极坐标图阐 述了反馈系统稳定性的论证。利用开环频率特性研究闭环系统的稳定 性，而不必解出特征根。为纪念他对控制系统作出的贡献，这种图又名 奈奎斯特曲线，简称奈氏图。 5.2 典型环节频率特性曲线的绘制 5.2.0 典型环节 最小相位系统 比例环节 K K  0 惯性环节 1/(Ts 1) (T  0) 一阶微分环节Ts 1 (T  0) 振荡环节1/( / 2 / 1) 2 2 s n  s n  (  0, 0    1 n )； 二阶微分环节 / 2 / 1 2 2 s n  s n  (  0, 0    1 n )；

⑥积分环节1/s; ⑦微分环节s; 非最小相位系统 ①比例环节KK0) ③一阶微分环节-Ts+1(T>0) ④振荡环节1/s2/o2-25/on+1)(on>0,00,0<5<1); 5.2.1增益K 当K值大于1时,其分贝数为正,当K值小于1时,其分贝数为负。 当增益为常数时,其对数幅频特性曲线为一条水平直线,且幅值等于 20lgK分贝,增益的相角为零。改变传递函数中增益会导致传递函数的 对数幅频特性曲线上升或下降一个相应的常数,但不会影响相位曲线。 如图5-6所示。图5-7给出了数值一-分贝转换直线,任何一个数值的分 贝都可以由该直线求到。当数值增大10倍时,其相应的分贝数增加20。 这可以由下式看出。20l0g(K×10)=20log(K)+20 类似地,20log(K×10”)=20log(K)+20×n L()=20 logK o(a)=0°幅频特性和相频特性曲线请看下页

104 积分环节 1/s； 微分环节 s； 非最小相位系统 比例环节K K  0 惯性环节1/(Ts 1) (T  0) 一阶微分环节 Ts 1 (T  0) 振荡环节1/( / 2 / 1) 2 2 s n  s n  (  0, 0    1 n )； 二阶微分环节 / 2 / 1 2 2 s n  s n  (  0, 0    1 n )； 5.2.1 增益 K 当 K 值大于 1 时，其分贝数为正，当 K 值小于 1 时，其分贝数为负。 当增益为常数时，其对数幅频特性曲线为一条水平直线，且幅值等于 20log K 分贝，增益的相角为零。改变传递函数中增益会导致传递函数的 对数幅频特性曲线上升或下降一个相应的常数，但不会影响相位曲线。 如图 5-6 所示。图 5-7 给出了数值-分贝转换直线，任何一个数值的分 贝都可以由该直线求到。当数值增大 10 倍时，其相应的分贝数增加 20。 这可以由下式看出。20log(K 10)  20log(K)  20 类似地， K K n n 20log( 10 )  20log( )  20 L()  20log K ()  0 幅频特性和相频特性曲线 请看下页

Bode Diagram of G(w )=K10 20 0 quency(rad/sec) 图5-6增益K的对数频率特性曲线 20log(K) 10 0 日. 数值 图5-7数值与分贝转换直线

105 Bode Diagram of G(jw )=K=10 Frequency (rad/sec) Phase (deg) Magnitude (dB) 19 19.5 20 20.5 21 10 0 10 1 10 2 -1 -0.5 0 0.5 1 图 5-6 增益 K 的对数频率特性曲线 10 -2 10 -1 10 0 10 1 -40 -30 -20 -10 0 10 20 数 值 分贝( dB) 20log(K) 图 5-7 数值与分贝转换直线

5.2.2积分与微分因子jo甲 当以分贝表示G(0)=的对数幅值时,其值为: L(o)=20g.|=-20loga分贝 G(/)=}的相角为常量,且等于叫(0)=-90°。 在伯德图中,频率比可以用倍频或十倍频程来表示。倍频程是频率从ω1变 到2m1的频带宽度,其中1为任意频率值,十倍频程是频率从a1变到10m1的 频带宽度,其中a1也是一个任意频率值(在半对数坐标纸上的对数分度情 况下,对于任意给定的频率比,可以用同一水平距离表示。例如,从O=1到 O=10的水平距离,等于从a=3到o=30的水平距离)。图5-8为积分因子的 对数频率特性曲线。L(o)=20g=-200go,L()=0dB L(10)=-20dB,所以该直线的斜率为-20分贝/十倍频程(或-6分贝/倍频程) Bode Diagram of G(w)=1/(jw) 20 : -20d B/dec -89.5 Frequency(rad/sec) 图5-8积分环节的对数频率特性曲线 106

106 5.2.2 积分与微分因子 1 j 当以分贝表示   j G j 1 ( )  的对数幅值时，其值为：    20log 1 ( )  20log   j L 分贝   j G j 1 ( )  的相角为常量，且等于()  90。 在伯德图中，频率比可以用倍频或十倍频程来表示。倍频程是频率从1变 到 1 2 的频带宽度，其中1为任意频率值，十倍频程是频率从1变到 1 10 的 频带宽度，其中1也是一个任意频率值（在半对数坐标纸上的对数分度情 况下，对于任意给定的频率比，可以用同一水平距离表示。例如，从  1到   10的水平距离，等于从  3到  30的水平距离）。图 5-8 为积分因子的 对数频率特性曲线。    20log 1 ( )  20log   j L ，L(1)  0dB L(10)  20dB，所以该直线的斜率为-20 分贝/十倍频程（或-6 分贝/倍频程） Bode Diagram of G(jw )=1/(jw ) Frequency (rad/sec) Phase (deg) Magnitude (dB) -40 -30 -20 -10 0 10 20 -20dB/dec 10 -1 10 0 10 1 10 2 -91 -90.5 -90 -89.5 -89 图 5-8 积分环节的对数频率特性曲线