第16讲 6.3串联校正 6.3.1串联超前校正(基于频率响应法) 用频率法对系统进行校正的基本思路是:通过所加校正装置,改变系 统开环频率特性的形状,即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点 ①低频段的增益充分大,满足稳态精度的要求; ②中频段的幅频特性的斜率为-20dB/dec,并具有较宽的频带,这一要求是为 了系统具有满意的动态性能 ③高频段要求幅值迅速衰减,以较少噪声的影响。 用频率法对系统进行超前校正的基本原理,是利用超前校正网络的相 位超前特性来增大系统的相位裕量,以达到改善系统瞬态响应的目点。为 此,要求校正网络最大的相位超前角出现在系统的截止频率(剪切频率) 处。 对截止频率没有特别要求时 用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为 ①根据稳态误差的要求,确定开环增益K。 ②根据所确定的开环增益K,画出未校正系统的波特图,计算未校正系 统的相位裕度y ③根据截止频率ω"的要求,计算超前网络参数a和T;关键是选择最大 超前角频率等于要求的系统截止频率,即on=o,以保证系统的响应速度, 并充分利用网络的相角超前特性。显然,On=o成立的条件是 L(2)=L(ol)=101ga (6-35) 由上式可求出aT= (6-36) 由(6-36)求出T。 ④验证已校正系统的相位裕度γ”。 ③由给定的相位裕度值γ,计算超前校正装置提供的相位超前量φ,即 q=卯m y +E←补偿 给定的校正前 ε是用于补偿因超前校正装置的引入,使系统截止频率增大而增加的相 角滞后量。ε值通常是这样估计的:如果未校正系统的开环对数幅频特性在
183 第 16 讲 6.3 串联校正 6.3.1 串联超前校正（基于频率响应法） 用频率法对系统进行校正的基本思路是：通过所加校正装置，改变系 统开环频率特性的形状，即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点： 低频段的增益充分大，满足稳态精度的要求； 中频段的幅频特性的斜率为-20dB/dec,并具有较宽的频带，这一要求是为 了系统具有满意的动态性能； 高频段要求幅值迅速衰减，以较少噪声的影响。 用频率法对系统进行超前校正的基本原理，是利用超前校正网络的相 位超前特性来增大系统的相位裕量，以达到改善系统瞬态响应的目点。为 此，要求校正网络最大的相位超前角出现在系统的截止频率（剪切频率） 处。 对截止频率没有特别要求时。 用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为： 根据稳态误差的要求，确定开环增益 K。 根据所确定的开环增益 K，画出未校正系统的波特图，计算未校正系 统的相位裕度 。 根据截止频率c 的要求，计算超前网络参数 a 和 T；关键是选择最大 超前角频率等于要求的系统截止频率，即 m c ，以保证系统的响应速度， 并充分利用网络的相角超前特性。显然， m c 成立的条件是 L L a o c c c () ( ) 10lg (6-35) 由上式可求出 a a T m1 (6-36) 由(6-36)求出Ｔ。 验证已校正系统的相位裕度 。 由给定的相位裕度值 ，计算超前校正装置提供的相位超前量 ，即 补偿 给定的 校正前 m 是用于补偿因超前校正装置的引入，使系统截止频率增大而增加的相 角滞后量。 值通常是这样估计的：如果未校正系统的开环对数幅频特性在
截止频率处的斜率为-40dB/dec,一般取ε=5°~10°;如果为-60dB/dec则取 15°~20° ④根据所确定的最大相位超前角o按a=1+smgm(6-37) 算出a的值。 ⑤计算校正装置在Om处的幅值101ga(图6-10)。由未校正系统的对数幅 频特性曲线,求得其幅值为-10l9a处的频率,该频率n就是校正后系统的 开环截止频率o?,即o=0n。 ⑥确定校正网络的转折频率a1和O2 a ⑦画出校正后系统的波特土,并演算相位裕度时候满足要求?如果不满 足,则需增大ε值,从第③步,开始重新进行计算。 例6-1.某一单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=-4人,设计一个 S(S+2) 超前校正装置,使校正后系统的静态速度误差系数K,=20s-1,相位裕度 y≥50°,增益裕度20lgh不小于10dB 解:①根据对静态速度误差系数的要求,确定系统的开环增益K 4K 0(s+2)2K=20, K.=lim s K=10 当K=10时,未校正系统的开环频率特性为 G(o)= 90°-arcg Jo(o+2)1l+2 ②绘制未校正系统的伯特图,如图6-16中的蓝线所示。由该图可知未 校正系统的相位裕度为y=17 *也可计算 =1o=6.17y=17.96° o11+()2 ③根据相位裕度的要求确定超前校正网络的相位超前角 中=y-y1+E=50°-17°+5°=38°
184 截止频率处的斜率为-40dB/dec，一般取 5 ~ 10；如果为-60dB/dec 则取 15 ~ 20。 根据所确定的最大相位超前角 m按 m m a 1 sin 1 sin (6-37) 算出 a 的值。 计算校正装置在 m处的幅值 10lga (图 6-10)。由未校正系统的对数幅 频特性曲线，求得其幅值为-10lga 处的频率，该频率 m就是校正后系统的 开环截止频率c ，即c m 。 确定校正网络的转折频率1和2。 a m 1 ， m a 2 画出校正后系统的波特土，并演算相位裕度时候满足要求？如果不满 足，则需增大 值，从第步，开始重新进行计算。 例６-1.某一单位反馈系统的开环传递函数为 ( 2) 4 ( ) s s K G s ，设计一个 超前校正装置，使校正后系统的静态速度误差系数 1 20 K s v ,相位裕度 50，增益裕度20lg h不小于 10dB。 解：根据对静态速度误差系数的要求，确定系统的开环增益 K。 2 20 ( 2) 4 lim 0 K s s K K s s v ， K 10 当K 10时，未校正系统的开环频率特性为 2 90 ) 2 1 ( 20 ( 2) 40 ( ) 2 arctg j j G j 绘制未校正系统的伯特图，如图 6-16 中的蓝线所示。由该图可知未 校正系统的相位裕度为 17 *也可计算 1 ) 2 1 ( 20 2 6.17 17.96 根据相位裕度的要求确定超前校正网络的相位超前角 50 17 5 38 1
④由式6-37)知a= l+ sin p1+sin38° 1-sino--1-sin38°42 ⑤超前校正装置在n处的幅值为 olga=10g42=62dB,据此,在为校正系统的开环对数幅值为-62dB 对应的频率o=on=9s-,这一频率就是校正后系统的截止频率o。 也可计算20820-20102018+=62 =8.93
185 由式(6-37)知 4.2 1 sin 38 1 sin 38 1 sin 1 sin m m a 超前校正装置在 m 处的幅值为 10lg a 10lg 4.2 6.2dB ，据此，在为校正系统的开环对数幅值为 6.2dB 对应的频率 1 9 m s ，这一频率就是校正后系统的截止频率c *也可计算 6.2 4 20lg 20 20lg 20lg 1 2 8.93 10 0 10 1 10 2 -60 -40 -20 0 20 40 10 0 10 1 10 2 -180 -160 -140 -120 -100
20 200 -6 10 10 200 186
186 100 1 0 1 1 0 2 - 6 0 - 4 0 - 2 00 2 0 4 01 0 0 1 0 1 1 0 2 - 2 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 00 5 01 0 0 1 0 1 1 0 2 - 6 0 - 4 0 - 2 00 2 0 4 01 0 0 1 0 1 1 0 2 - 2 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 00 5 0
图6-16校正后系统框图 ⑥计算超前校正网络的转折频率 m==44,a2=ona=942=184 √a42 G(s)=s+44 1+0.227s 0.238 s+18.2 1+0.054s 为了补偿因超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减,必须使 附加放大器的放大倍数为a=42 ⑦校正后系统的框图如图6-17所示,其开环传递函数为 G2(s)G。(s) 42×40(s+44)_20(1+0.2275) (s+182)s(S+2)s(1+0.5(1+0.0542) R(s 201+0.227s) s(1+0.5)(1+0.0542s) 图6-17校正后系统框图 对应的伯特图中红线所示。由该图可见,校正后系统的相位裕度为 y≥50°,增益裕度为20lgh=∞∥B,均已满足系统设计要求。 基于上述分析,可知串联超前校正有如下特点: ①这种校正主要对未校正系统中频段进行校正,使校正后中频段幅值的 斜率为-20dB/dec,且有足够大的相位裕度。 ②超前校正会使系统瞬态响应的速度变快。由例6-1知,校正后系统的 截止频率由未校正前的63增大到9。这表明校正后,系统的频带变宽,瞬 态响应速度变快;但系统抗高频噪声的能力变差。对此,在校正装置设计 时必须注意。 ③超前校正一般虽能较有效地改善动态性能,但未校正系统的相频特性 在截止频率附近急剧下降时,若用单级超前校正网络去校正,收效不大 因为校正后系统的截至频率向高频段移动。在新的截至频率处,由于未校 正系统的相角滞后量过大,因而用单级的超前校正网络难以获得较大的相 位裕度
187 图 6-16 校正后系统框图 计算超前校正网络的转折频率 T a m 1 4.4 4.2 9 1 a m ， 9 4.2 18.4 2 m a s s s s G s c 1 0.054 1 0.227 0.238 18.2 4.4 ( ) 为了补偿因超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减，必须使 附加放大器的放大倍数为 a=4.2 校正后系统的框图如图 6-17 所示，其开环传递函数为 (1 0.5 )(1 0.0542 ) 20(1 0.227 ) ( 18.2) ( 2) 4.2 40( 4.4) ( ) ( ) s s s s s s s s G s G s c o R(s) C(s) (1 0.5 )(1 0.0542 ) 20(1 0.227 ) s s s s 图 6-17 校正后系统框图 对应的伯特图中红线所示。由该图可见，校正后系统的相位裕度为 50，增益裕度为20lg h dB，均已满足系统设计要求。 基于上述分析，可知串联超前校正有如下特点： 这种校正主要对未校正系统中频段进行校正，使校正后中频段幅值的 斜率为-20dB/dec，且有足够大的相位裕度。 超前校正会使系统瞬态响应的速度变快。由例 6-1 知，校正后系统的 截止频率由未校正前的 6.3 增大到 9。这表明校正后，系统的频带变宽，瞬 态响应速度变快；但系统抗高频噪声的能力变差。对此，在校正装置设计 时必须注意。 超前校正一般虽能较有效地改善动态性能，但未校正系统的相频特性 在截止频率附近急剧下降时，若用单级超前校正网络去校正，收效不大。 因为校正后系统的截至频率向高频段移动。在新的截至频率处，由于未校 正系统的相角滞后量过大，因而用单级的超前校正网络难以获得较大的相 位裕度
632串联滞后校正(基于频率响应法) 由于滞后校正网络具有低通滤波器的特性,因而当它与系统的不可变 部分串联相连时,会使系统开环频率特性的中频和高频段增益降低和截止 频率ω减小,从而有可能使系统获得足够大的相位裕度,它不影响频率特 性的低频段。由此可见,滞后校正在一定的条件下,也能使系统同时满足 动态和静态的要求。 不难看出,滞后校正的不足之处是:校正后系统的截止频率会减小, 瞬态响应的速度要变慢;在截止频率o。处,滞后校正网络会产生一定的相 角滞后量。为了使这个滞后角尽可能地小,理论上总希望G(s)两个转折频 率ωn,ω2比ω越小越好,但考虑物理实现上的可行性,一般取 (025~01)o为宜 ①在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下,可 考虑采用串联滞后校正。 ②保持原有的已满足要求的动态性能不变,而用以提高系统的开环增 益,减小系统的稳态误差。 如果所研究的系统为单位反馈最小相位系统,则应用频率法设计串联 滞后校正网络的步骤如下 ①根据稳态性能要求,确定开环增益K; ②利用已确定的开环增益,画出未校正系统对数频率特性曲线,确定未 校正系统的截止频率a、相位裕度γ和幅值裕度hdB); ③选择不同的o?,计算或查出不同的y值,在伯特图上绘制y(o)曲线; ⑨根据相位裕度γ要求,选择已校正系统的截止频率o;考虑到滞后 网络在新的截止频率o"处,会产生一定的相角滞后(o),因此,下列等式 成立 y()+c( (6-38) 指标要求值 可取-6° 根据(6-38)的计算结果,在y(o”)曲线上可查出相应的o值。 ⑤根据下述关系确定滞后网络参数b和T如下 20lgb+L(2)=06-39)
188 6.3.2 串联滞后校正(基于频率响应法) 由于滞后校正网络具有低通滤波器的特性，因而当它与系统的不可变 部分串联相连时，会使系统开环频率特性的中频和高频段增益降低和截止 频率c 减小，从而有可能使系统获得足够大的相位裕度，它不影响频率特 性的低频段。由此可见，滞后校正在一定的条件下，也能使系统同时满足 动态和静态的要求。 不难看出，滞后校正的不足之处是：校正后系统的截止频率会减小， 瞬态响应的速度要变慢；在截止频率c 处，滞后校正网络会产生一定的相 角滞后量。为了使这个滞后角尽可能地小，理论上总希望G (s) c 两个转折频 率1 2比c , 越小越好，但考虑物理实现上的可行性，一般取 c T 0.25 ~ 0.1 1 2 为宜。 在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下，可 考虑采用串联滞后校正。 保持原有的已满足要求的动态性能不变，而用以提高系统的开环增 益，减小系统的稳态误差。 如果所研究的系统为单位反馈最小相位系统，则应用频率法设计串联 滞后校正网络的步骤如下： 根据稳态性能要求，确定开环增益 K； 利用已确定的开环增益，画出未校正系统对数频率特性曲线，确定未 校正系统的截止频率c 、相位裕度 和幅值裕度h(dB)； 选择不同的c ，计算或查出不同的 值，在伯特图上绘制 ( ) c 曲线； 根据相位裕度 要求，选择已校正系统的截止频率c ；考虑到滞后 网络在新的截止频率c 处，会产生一定的相角滞后 ( ) c c ，因此，下列等式 成立： 6 ( ) ( ) 指标要求值 可取 c c c (6-38) 根据(6-38)的计算结果，在 ( ) c 曲线上可查出相应的c 值。 根据下述关系确定滞后网络参数 b 和 T 如下： 20lg ( ) 0 L c b (6-39)
0.1a (6-40) 式(6-39)成立的原因是显然的,因为要保证已校正系统的截止频率为上 步所选的o值,就必须使滞后网络的衰减量20lgb在数值上等于未校正 系统在新截止频率ω〃上的对数幅频值L'(o"),该值在未校正系统的对数幅频 曲线上可以查出,于是,通过式(6-39)可以算出b值。 根据(6-40),由已确定的b值,可以算出滞后网络的T值。如果求得的 T值过大难以实现,则可将(6-40)式中的系数01适当增大,例如在01~025 范围内选取,而(o")的估计值应在-6°~-14范围内确定。 ⑥验算已校正系统的相位裕度和幅值裕度。 例6-2.控制系统如图6-18所示。若要求校正后的静态速度误差系数等于 30s-1,相位裕度不低于40°,幅值裕度不小于10dB,截止频率不小于2.3rad/s, 设计串联校正装置。 R(s) K C(s) S(0.1s+1)(0.2s+1) 图6-18控制系统 解:①首先确定开环增益K K,=lim sG(s)=K=30 ②未校正系统开环传递函数应取 G(s)= s(0.ls+1)(0.2s+1) 画出未校正系统的对数幅频渐进特性曲线,如图6-19所示
189 c bT 0.1 1 (6-40) 式(6-39)成立的原因是显然的，因为要保证已校正系统的截止频率为上 一步所选的c 值，就必须使滞后网络的衰减量 20lgb 在数值上等于未校正 系统在新截止频率c 上的对数幅频值 ( ) L c ，该值在未校正系统的对数幅频 曲线上可以查出，于是，通过式(6-39)可以算出 b 值。 根据(6-40)，由已确定的 b 值，可以算出滞后网络的 T 值。如果求得的 T 值过大难以实现，则可将(6-40)式中的系数 0.1 适当增大，例如在0.1 ~ 0.25 范围内选取，而 ( ) c c 的估计值应在 6 ~ 14范围内确定。 验算已校正系统的相位裕度和幅值裕度。 例 6-2. 控制系统如图 6-18 所示。若要求校正后的静态速度误差系数等于 1 30 s ，相位裕度不低于40，幅值裕度不小于 10dB，截止频率不小于 2.3rad/s， 设计串联校正装置。 R(s) C(s) s(0.1s 1)(0.2s 1) K 图 6-18 控制系统 解：首先确定开环增益 K lim ( ) 30 0 K sG s K s v 未校正系统开环传递函数应取 (0.1 1)(0.2 1) 30 ( ) s s s G s 画出未校正系统的对数幅频渐进特性曲线，如图 6-19 所示
100 :: 100 200 图6-19例6-2对数幅频渐进特性曲线 由图可得o=12d/s可算出oon)=-180°→0x=707d/s,0=12md/s y=1800-90°- arrigo×0.1- ariga!×0.2 =90°-50.19°-67.38°=-276° 说明未校正系统不稳定,且截止频率远大于要求值。在这种情况下,采用 串联超前校正是无效的。可以证明,当γ”=30° I+ sin g qm=y"-y+E=30°(-276°)+20°=776°,a 1-sin m 而截止频率也向右移动。 考虑到,本例题对系统截止频率值要求不大,故选用串联滞后校正,可以 满足需要的性能指标。 ③计算y(a2)=90°-acg(01o2)-arcg(02o) y"=y(o2)+(o?)y(o2)=y"-(oD2)=40°-(-6°)=46°
190 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -100 -50 0 50 100 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -300 -250 -200 -150 -100 -50 图 6-19 例 6-2 对数幅频渐进特性曲线 由图可得 rad s c 12 / 可算出 rad s rad s g g c ( ) 180 7.07 / , 12 / 180 90 0.1 0.2 c c arctg arctg 90 50.19 67.38 27.6 说明未校正系统不稳定，且截止频率远大于要求值。在这种情况下，采用 串联超前校正是无效的。可以证明，当 30， m 30 (27.6) 20 77.6， 84.73 1 sin 1 sin m m a 而截止频率也向右移动。 考虑到，本例题对系统截止频率值要求不大，故选用串联滞后校正，可以 满足需要的性能指标。 计算 ( ) 90 (0.1 ) (0.2 ) c c c arctg arctg ( ) ( ) c c ( ) ( ) 40 (6) 46 c c
100 :: 100 0 -200 于是,由y(02)与o?与的曲线(玫瑰红色),可查得o"=27wd/时,y(27)=465° 可满足要求。由于指标要求o”≥2.3ad/s,故o”值可在2.3uad/s~2.7ruad/s范 围内任取。考虑到①o?取值较大时,已校正系统响应速度较快②滞后网络 时间常数T值较小,便于实现,故选取a"=2.7rad/s。然后,在图6-19上 查出L(o")=21dB。也可计算。 ④计算滞后网络参数 利用(6-39)式20gb+L(o2)=0 b=0.09 再利用式(6-40) =41lsbT=3.7 0.1o.b 则滞后网络的传递函数 G 1+bTs1+3.7 1+Ts 1+41s ⑤验算指标(相位裕度和幅值裕度) (02)≈arcg[0.1(b-1)]=-52° (b-1)7 P(=arct =-521°y"=y(02)+(o2")=46.5°-52°=413°>40°满 1+b(To2)2 足要求。未校正前的相位穿越频率on,o(on)=-180°
191 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -100 -50 0 50 100 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -300 -200 -100 0 于是，由 c c ( )与 与的曲线（玫瑰红色），可查得 rad s c 2.7 / 时， (2.7) 46.5 可满足要求。由于指标要求 rad s c 2.3 / ，故c 值可在2.3rad / s ~ 2.7rad / s 范 围内任取。考虑到c 取值较大时，已校正系统响应速度较快滞后网络 时间常数 T 值较小，便于实现，故选取 rad s c 2.7 / 。然后，在图 6-19 上 查出L(c ) 21dB 。也可计算。 计算滞后网络参数 利用(6-39)式 20lg ( ) 0 L c b b=0.09 再利用式(6-40) c bT 0.1 1 s b T c 41.1 0.1 1 bT=3.7s 则滞后网络的传递函数 s s Ts bTs G s c 1 41 1 3.7 1 1 ( ) 验算指标(相位裕度和幅值裕度) ( ) [0.1( 1)] 5.2 '' arctg b c c 5.21 1 ( ) ( 1) ( ) '' 2 '' '' c c c c b T b T arctg ( ) ( ) 46.5 5.2 41.3 40 c c 满 足要求。未校正前的相位穿越频率 g ， ( ) 180 g
1-0.ln×02n=0,0n=707ad/s,校正后的相位穿越频率ot=687ad/s 求幅值裕度hdB)=-201g(0G(0=105dB>10dB 100 100 100 200 串联超前校正和串联滞后校正方法的适用范围和特点 ①超前校正是利用超前网络的相角超前特性对系统进行校正,而滞后校正则 是利用滞后网络的幅值在高频衰减特性; ②用频率法进行超前校正,旨在提高开环对数幅频渐进线在截止频率处的斜 率(-40dB/dec提高到-20dB/dec),和相位裕度,并增大系统的频带宽度。 频带的变宽意味着校正后的系统响应变快,调整时间缩短。 ③对同一系统超前校正系统的频带宽度一般总大于滞后校正系统,因此,如 果要求校正后的系统具有宽的频带和良好的瞬态响应,则采用超前校正。 当噪声电平较高时,显然频带越宽的系统抗噪声干扰的能力也越差。对于 这种情况,宜对系统采用滞后校正。 ⑨超前校正需要增加一个附加的放大器,以补偿超前校正网络对系统增益的 衰减 ⑤滞后校正虽然能改善系统的静态精度,但它促使系统的频带变窄,瞬态响 应速度变慢。如果要求校正后的系统既有快速的瞬态响应,又有高的静态
192 rad s g g g 1 0.1 0.2 0, 7.07 / ，校正后的相位穿越频率 rad s g 6.8 / 。 求幅值裕度h(dB) 20lg Gc ( jg )Go ( jg ) 10.5dB 10dB 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -100 -50 0 50 100 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -300 -200 -100 0 串联超前校正和串联滞后校正方法的适用范围和特点 超前校正是利用超前网络的相角超前特性对系统进行校正，而滞后校正则 是利用滞后网络的幅值在高频衰减特性； 用频率法进行超前校正，旨在提高开环对数幅频渐进线在截止频率处的斜 率(-40dB/dec 提高到-20dB/dec)，和相位裕度，并增大系统的频带宽度。 频带的变宽意味着校正后的系统响应变快，调整时间缩短。 对同一系统超前校正系统的频带宽度一般总大于滞后校正系统，因此，如 果要求校正后的系统具有宽的频带和良好的瞬态响应，则采用超前校正。 当噪声电平较高时，显然频带越宽的系统抗噪声干扰的能力也越差。对于 这种情况，宜对系统采用滞后校正。 超前校正需要增加一个附加的放大器，以补偿超前校正网络对系统增益的 衰减。 滞后校正虽然能改善系统的静态精度，但它促使系统的频带变窄，瞬态响 应速度变慢。如果要求校正后的系统既有快速的瞬态响应，又有高的静态