第 逻辑代数基础 教学要求: 理解数制与编码,掌握数制间的转换: 熟练掌握基本定理和公式并能导出常用公式 理解真值表、逻辑代数式、逻辑图和卡诺图表示逻辑函数 掌握公式化简法、卡诺图化简法简化逻辑函数。 教学重点 数制与编码。 逻辑函数及其表示。 逻辑函数的化简。 1.1概述 布尔:英国数学家,1949年提出变量“0”和“1”代表不同状态。 本章主要介绍逻辑代数的基本运算、基本定律和基本运算规则,然后介绍逻辑函 数的表示方法及逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。逻辑代数有其自身独立 的规律和运算法则,而不同于普通代数。 1.2逻辑函数及其表示法 1.2.1基本逻辑运算 1、与运算 所有条例都具备事件才发生
真值表 输入输出 K1 K& ②L1 L0001 开关:“1”闭合,“0”断开;灯: 0”灭 真值表:把输入所有可能的组合与输出取值对应列成表。 逻辑表达式:L=K1*K2(逻辑乘) 逻辑符号 原有符号 讨论与逻辑运算的逻辑口诀 逻辑功能口决:有“0”出“0”,全“1”出“1” 2、或运算 至少有一个条件具备,事件就会发生。 K 真值表: K2 逻辑表达式:L=K1+K2(逻辑加) 逻辑符号:K
讨论或逻辑运算的逻辑口诀 逻辑功能口决:有“1”出“1”全“0”出“0” 3、非运算:一结果与条件相反 逻辑表达式:L=区1 逻辑符号: 1.2.2几种导出的逻辑运算 与非运算、或非运算、与或非运算 1、与非 A B Y } 110 逻辑表达式:F=AB 值“0”出“1全“1”田“0
2、或非 A BY Y 001 A ABAB 010 00 10 逻辑表达式:F=A+B 有“1”出“0全“0”出“1 3.与或非 ABCD 逻辑表达式:Y=AB+CD 异或运算和同或运算 1、异或(如在计算中用于判断) A 0110 逻辑表达式,F=A·B+A·B=A⑥B相同为“0”不同为“1” 2、同或 A BY 00 A B 或y 001 逻辑表达式:X=AB+AB=A∞相同为“1”,不同为“0” 1.3逻辑代数的基本定律和规则 3.1逻辑代数的基本公式 逻辑常量运算公式 表1.3.1逻辑常量运算公式
与运算 或运算 聿运算 0=0 0+1=1 1-0 =0 l.0=0 1+0=1 11=1 1+1=1 逻辑变量、常量运算公式 表1.3.2逻辑变量、常量运算公式 与运算 或运算 非运算 A·0=0 A+0=A A.=A A+1=1 A·A=A A+A=A A=A A·A=0 A+A=1 变量A的取值只能为0或为1,分别代入验证。 1.3.2逻辑代数的基本定律 逻辑代数的基本定律是分析、设计逻辑电路,化简和变换逻辑函数式的重要工具。 这些定律和普通代数 相似,有其独特性。 与普通代数相似的定律 表1.3.3交换律结合律分配律 换律 A+B=B+A AB=B·A 结合律 A+B+C=(A+ B)+C=A+(B+C) ABC=(A·B)C=A(BQ 分配B+A+ A+BC=(A+B)·{A+C) 二吸收律 吸收律可以利用基本公式推导出来,是逻辑函数化简中常用的基本定律 表1.3.4吸收律
吸收律 ①AB+AB=A AB+AB=A(B+B)=A·1=A ②A+AB=A A+AB=A(+B)=A.I=A ③A+AB=A+B A+AB= (A+A)(A+B)=1.(A+B=A+B ④AB+AC+BC=AB+AC 原式=AB+AC+BC(A+A) =AB+AC+ ABC +A BO =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+AC 与学生一同验证以上四式。 第④式的推广:AB+AC+BCDE=AB+AC(1.3.1) 由表1.3.4可知,利用吸收律化简逻辑函数时,某些项或因子在化简中被吸收 掉,使逻辑函数式变得更简单。 、摩根定律 摩根定律又称为反演律,它有下面两种形式 AB=A+B +B=A·百 与学生一同验证以上二式用真值表 表1.5A=A+B的证明 BA+BA.百 A0011 0 1000 000 表1.3.6A+日=A·巨的证明 BAB+百 A001 0 111 1.3.3逻辑代数的三个重要规则 代入规则
对于任一个含有变量A的逻辑等式,可以将等式两边的所有变量A用同一个逻 辑函数替代,替代后等 式仍然成立。这个规则称为代入规则。代入规则的正确性是由逻辑变量和逻辑函 数值的二值性保证的。 已知AB=A+B,试证明用BC替代B后,等式仍然成立。 这个例子证明了摩根定律的一个广式 二、反演规则 即求F A+A 如求y=A+B+C+D+E求F 则:F=A·B·C·D·E 对偶规则 对逻辑函数式Y: 若两函数相等,其对偶式也相等。(可用于变换推导公式)。 讨论三个规则的正确性。 1.4.1逻辑函数及其表示法 逻辑函数的建立举例子说明建立(抽象)逻辑函数的方法,加深对逻辑函 数概念的理解。 例1.4.1两个单刀双掷开关A和B分别安装在楼上和楼下。上楼之前,在楼 下开灯,上楼后关灯;反 之下楼之前,在楼上开灯,下楼后关灯。试建立其逻辑式 [例1.4.1]真值表
Y=AB+AB A0011 B010 Y100 逻辑函数的表示方法 真值表 逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数有n个变量时,共有2n个不同 的变量取值组合。在列真 值表时,变量取值的组合一般按n位二进制数递增的方式列出。用真值表表示 逻辑函数的优点是直观、 明了,可直接看出逻辑函数值和变量取值之间的关系。分析逻辑式与逻辑图之间 的相互转换以及如何由 逻辑式或逻辑图列真值表。 2.逻辑函数式 写标准与-或逻辑式的方法是 (1)把任意一组变量取值中的1代以原变量,0代以反变量,由此得到一 组变量的与组合, 如A、B、C三个变量的取值为110时,则代换后得到的变量与组合为ABC (2)把逻辑函数值为1所对应的各变量的与组合相加,便得到标准的与-或 逻辑式。 3.逻辑图 逻辑图是用基本逻辑门和复合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的 电路图。 1.5逻辑函数的公式化简法 1.5.1化简的意义与标准
化简逻辑函数的意义 根据逻辑问题归纳岀来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式,对逻辑函数进行 化简和变换,可以得到 最简的逻辑函数式和所需要的形式,设计出最简洁的逻辑电路。这对于节省元器 件,优化生产工艺,降 低成本和提高系统的可靠性,提高产品在市场的竞争力是非常重要的 逻辑函数式的几种常见形式和变换 常见的逻辑式主要有5种形式,如逻辑式Y=AB+EC可表示为 Y1=AB+ BC 与-或表达式 Y2=(A+B)(B+C) 或-与表达式 Y3=AB BC 与非一与非表达式 Y4=A+日+B+C 或非一或非表达式 I5= A.B+BC 与或非表达式 用逻辑代数的基本定律,可以实现上述五种逻函数式之间的变。现溶Y2的 与感表达式变换为Y2的或与表达式说明如下 利用摩根定律将Y式变换为Y2式 Y1=AB+ BC Y1=(A+百)(B+c 利用摩根定 =AB+AC+BC =AB+BC 用吸律 =(A+B)(B+C) 利用擎捉定律 所以Y1=Y2 逻辑函数的最简与一或式 1.5.2逻辑函数的代数化简法 并项法 运用基本公式A+A=1,将两项合并为一项,同时滑去一个变量。如
1.A百C+ABC=AB(C+c)=A百 2. A(BC+BC)+A(BC BC)=A(BC+BC)+A(BC+BC)=A 、吸收法 运用吸收律A+AB=A和AB+AC+BC=AB+EC,去多余的与项。如 1. AB+ AB(E+F)=AB 2. ABC+ AD+ CD+BD =ABC+(A+C)D+BD -ABC+ ACD+BD BC+ ACD =ABC+ AD+ CD 消去法 运用吸收律A+AB=A+B,消去多余因子,如 1. AB+ AC+BC=ABt(A+B)C =AB+ ABC =AB+C 2. AB+ AB+ ABCD+ ABCD=AB +AB+(AB+ A B)CD AB+AB+AB+AB·CD =AB+AB+CD 四、配项法 在不度接运用公式,定律化时,可通过乘(A+A)=1如人零项A·A=0 进行配项再化簡。如 1.AB+BC+AD=AB+B己+ACD(+巨) =AB+百c+ABcD+A豆ED -AB (1+ CD)+ BC(1+ AD) AB+Bc 2.ABE+AB·AB=ABG+AB·AB+AB·A AB(C+AB)+ABC·AB AB·AB+AEC·AB AEC(AB+ AB A+BtC 在实际化简逻辑函数时,需要灵活运用上述几种方法,才能得到最简式 1.6逻辑函数的卡诺图化简法 1.6.1最小项与卡诺图 最小项的定义和性质 最小项的定义:n个变量X1,X2,X3…,XN的最小项是n个因子的乘积,每个 变量都以它的原变量或非变量的形式在乘