教案 重积分变量代换公式的证明 1.教学内容 我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式,然后将一般的变量代换视为向量 值函数,将它分解为两个本原变换的复合,从而给出了重积分变量代换公式一个 容易理解而简单的证明。 2.指导思想 重积分变量代换公式的证明是数学分析课程教学中的一个难点,如何化解这一难 点,使学生理解并掌握这一重要内容,是本教案的目的。我们通过将一般的变量 代换分解为两个本原变换的复合的方法,然后对本原变换的情况进行证明,使得 证明简单而容易理解。同时,也教给学生一个如何将复杂的问题化成简单问题的 方法。 3.教学安排 1.我们先叙述定积分的变量代换公式(即换元法),然后利用类比法看一下 二重积分变量代换公式应该是怎样的 定积分:设f(x)在区间[a,b上连续,变换x=9(1)是一一对应,有连续导数, x=(1):[a,月(或[B,a])→[a,b]((x)=a,q(β)=b),则 f()dx=5f(()o'(dr 二重积分:设∫(x,y)在有界闭区域D连续,变换T x(u, v) D→T(D) y=y(,) 是一一对应,有连续偏导数,则类比定积分的变量代换公式,重积分的变量代换 公式似乎应该是 ∫(x)b(xm)2(xhhn, T(D) 其中xy是向量值函数T的导数。但是注意在定积分情况下,如果o()<0, d(u, v) 则a>B,即右端积分的上限小于下限,交换积分上下限后,q()就换成-g() 而在重积分情况下,(xy)也有可能小于0,但由于积分区域D没有方向(或符 a(,v) 号)概念,因此对(x,y)要加上绝对值符号,即 a(,v)教案 重积分变量代换公式的证明 1. 教学内容 我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式，然后将一般的变量代换视为向量 值函数，将它分解为两个本原变换的复合，从而给出了重积分变量代换公式一个 容易理解而简单的证明。 2. 指导思想 重积分变量代换公式的证明是数学分析课程教学中的一个难点，如何化解这一难 点，使学生理解并掌握这一重要内容，是本教案的目的。我们通过将一般的变量 代换分解为两个本原变换的复合的方法，然后对本原变换的情况进行证明，使得 证明简单而容易理解。同时，也教给学生一个如何将复杂的问题化成简单问题的 方法。 3. 教学安排 1．我们先叙述定积分的变量代换公式（即换元法），然后利用类比法看一下 二重积分变量代换公式应该是怎样的： 定积分：设 xf )( 在区间 上连续，变换 ba ],[ = ϕ tx )( 是一一对应，有连续导数， = ϕ tx :)( α β ],[ （或 β α],[ ） （ → ba ],[ ϕ( ) α = a ，ϕ( ) β = b ），则 f x dx a b ( ) ∫ = f t td ( ( )) ) ϕ ϕ α β ′( ∫ t 二重积分：设 在有界闭区域D 连续，变换 是一一对应，有连续偏导数，则类比定积分的变量代换公式，重积分的变量代换 公式似乎应该是 )(: ),( ),( : T D vuyy vuxx T → ⎩ ⎨ ⎧ = = yxf ),( D ∫∫ ∫∫ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( )),(),,((),( )( ， ),( ),( vu yx ∂ ∂ 其中 是向量值函数T 的导数。但是注意在定积分情况下，如果ϕ t < 0)(' ， 则α > β ，即右端积分的上限小于下限，交换积分上下限后，ϕ t)(' 就换成−ϕ t)(' ； 而在重积分情况下， ,( ,( u x ∂ ∂ ) ) v y 也有可能小于 0，但由于积分区域D 没有方向（或符 号）概念，因此对 ),( ),( vu yx ∂ ∂ 要加上绝对值符号，即 1