R,1 f(r, y)dxdy=lf(r(u,v),y(u, v)) dudy a(,v) 2.二重积分变量代换公式 设U为v平面上的开集,V是x平面上开集,映射 7.x=x(l,v),y=y(,v) 是U到ⅴ的一个一一对应。进一步假设x=x(u,v),y=y(u,)具有连续偏导数, 且有xy)≠0,则由连续性可知(xy) a(,) a(a)在fU上不变号。对于U中任意具有分段 光滑边界的有界闭区域D,记它的像为E=T(D)cV,则E=T(D)也是具有分段 光滑边界的有界闭区域。换言之,区域D与E=T(D)都具有零边界。在这样的假 设下,我们有如下的二重积分的变量代换公式 定理1(二重积分变量代换公式)映射T和区域D如上假设。如果二元函数 f(x,y)在T(D)上连续,则 IA(x,ydx dy=J/(r(u, v), y u p-r y)dude o(u, 4证明定理1,我们将区域D用水平线与垂直线分割成许多小矩形,由于区 具有零边界,当分割充分细的时候,与区域D边界相交的小矩形的面积之和 可以任意小,因此我们只需要考虑包含在区域D内的小矩形R 3.定义形如 Tr: x=x(u,v)=u, y=y(u, v) 或 r,:x=x(u,),y=y(u,)= 的映射称为本原映射。 引理1设T为本原映射,则对于每个小矩形R,等式 u, v) 成立,这里(,为R上某一点。 证仅对本原映射T证明,对T的证明是类似的。 设在U上J>0。由于这时成立 0 a(x,y) oy O (l,v) 所以在每个小矩形R=e,月×g,h上,对于固定的u,y(u,v)是v的单调增加函数, 因此R被一一对应地映到 T(R)={(x,y)e≤x≤J,y(x,g)≤y≤y(x,h}。∫∫∫∫ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf T ),( ),( ),( )),(),,(( )( 。 2．二重积分变量代换公式 设U 为 平面上的开集， 是 uv V xy 平面上开集，映射 T: ( , ), ( , ) x = x u v y = y u v 是 到 的一个一一对应。 U V 进一步假设 x = x( , ), ( , ) u v y = y u v 具有连续偏导数， 且有 ),( ),( vu yx ∂ ∂ ),( ),( vu yx ∂ ∂ ≠ 0，则由连续性可知 在 上不变号。对于 中任意具有分段 光滑边界的有界闭区域 ，记它的像为 U U D = T DE )( ⊂ V ，则 = T DE )( 也是具有分段 光滑边界的有界闭区域。换言之，区域 与D = T DE )( 都具有零边界。在这样的假 设下，我们有如下的二重积分的变量代换公式。 定理 1(二重积分变量代换公式) 映射T 和区域D如上假设。如果二元函数 yxf ),( 在 上连续，则 T D)( ∫∫ ∫∫ ∂ ∂ = D D vu vu yx vuyvuxfyxyxf T dd ),( ),( )),(),,((dd),( )( 。 为证明定理 1，我们将区域D用水平线与垂直线分割成许多小矩形，由于区 域 具有零边界，当分割充分细的时候，与区域 边界相交的小矩形的面积之和 可以任意小，因此我们只需要考虑包含在区域 内的小矩形 D D D R 。 3．定义 形如 Tx : = = = vuyyuvuxx ),(,),( 或 : = = ),(,),( = vvuyyvuxx Ty 的映射称为本原映射。 引理 1 设T 为本原映射，则对于每个小矩形 R ，等式 mR vu yx RmT vu ) ~, ~( ),( ),( )( ∂ ∂ = 成立，这里 为 (~,~ u v ) R 上某一点。 证 仅对本原映射 证明，对 的证明是类似的。 Tx Ty 设在 上U J > 0 。由于这时成立 0 01 ),( ),( > ∂ == = v y v y u y vu yx J ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ， 所以在每个小矩形 R=[e, f]×[g, h]上，对于固定的 是 的单调增加函数， 因此 vuyu ),(, v R 被一一对应地映到 = ≤ ≤ ≤ ≤ hxyygxyfxeyxRT )},(),(,|),{()( 。 2