第十二章重积分 2|d6 =2 sIne h I 1 p-Cos0 Sin e Cose sin Cos0 In(2ige)d(g0)=h 例三,求三重积分:1(+y(2-27m,其中 (x,y)x2+y2≤R2 解:考虑极坐标系 Jx= pCos y=pSin8 do=pdpde. D=(x,,x+y2sR2 g(2+y)y-x9=8()y a(x, y)l-x a(p,0)(y 0)a(x,y) 因为:cp( a(0, Cose -sIne(y Sing pCos 1(pCos pSin 0 pl-Sin@ Cos0 1=[8(+yl ax oy f g)ld9db=-8(0.,)-10.)Mp=0 第十二章重积分第十二章 重积分 第十二章 重积分 =   4 2 1 2 1 4 1 2 2          arctg Sin Sin Cos Sin d d =  4 2 1 2 ln 1 2       arctg d Cos Sin Cos Sin = ln(2 ) ( ) ln 2 1 2 2 4 2 1 =      arctg tg d tg tg 例三， 求二重积分: ( )            −   = + D d y f x x f I g x y y  2 2 , 其中 ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R , ( ) lim 1 0 = → + t g t t . 解：考虑极坐标系    = =     y Sin x Cos , d =  d d . ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R ( ) ( ) ( )          −  =          −   + x y x y f g y f x x f g x y y , 2 2 2  = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          −     =         −  x y x y f g x y x y f g , , , , 2 2       = ( )     − f g 2 因为： ( ) ( ) ( ) ( )         −           =         −  − x x y y x y x y 1 , , , ,     = =         −         − − x y Sin Cos Cos Sin 1       =         −         − x y Sin Cos Cos Sin        1 =         − =        − 1 1 0 0   ( )            −   = + D d y f x x f I g x y y  2 2 = ( )     − R d d f g       2 = ( )     −       2 0 0 2 d f d g R = ( ) ( ( ) ( ))  − − = R f f d g 0 2 0,  0,   0  