·284· 智能系统学报 第13卷 3.2算法流程 试算法的通用性（许多优秀的智能优化算法往往对 HHSDE算法的具体流程如图1所示： 这类问题存在偏好型，比如当最优解在(0,0，… (开始 0)时，求解性能非常好，反之性能变得很差)。 4.1运行环境与参数设置 参数初始化 本文进行的所有测试，硬件环境为戴尔PC机： 种群初始化 Intel Xeon(TM)i7-47903.6 GHz CPU,8GB内存；软 件环境Window7操作系统，MATLAB2014b软 t=l,SFo=0.5,k=0,s=0 件。为公平起见，本文采用相同的最大适应度函数 评价次数(MaxFEs-=5000×D),D为维数。6种比较 N Y 算法的参数设置参照于原文献，本文算法参数具体 <SF 使用DE算法一次， 设置为：C=0.4,F=0.5,PARmax=-0.99,PARmax=-0.1, 用式(9)、(7)、(8)进行 使用HS算法HMS次 迭代，更新c,() 更新c() bwa-(x'-x/100,bwm.-(.x'-xy10，°T=120HMCR= 0.98,p=1.02,=1 4.2实验结果与分析 Y S<T 表1~2分别展示了D=30和D=100时，10个 N 测试函数的30次独立实验统计结果，对每一个函数 5=0,=k+1 都记录了最优解和最差解，并统计了30次实验的最 使用式(10)、(11)、 优平均值和运行时间。从表1~2可以看出，这10个 (12)计算SF+D 测试函数中，HHSDE算法除了在函数F,(Schwefel =+HMS 2.22 Function)上仅弱于SaDE外，对其他问题， HHSDE算法的评价指标均优于或不弱于其他6种 1Tms 算法。在运行时间方面，当D=30时，本文算法仅 IN 结束 比DE算法用时稍长，在某些问题上与NGHS算法 相当，但远少于其他几种算法；当D=100时，算法用 图1 HHSDE算法流程图 时就仅少于DE算法。总体来说，对这10个多模态 Fig.1 The flow chart of HHSDE algorithm 复杂优化问题，用时短的算法在解的精度方面弱于 4实验仿真测试 本文算法，而相较于获得相同最优解的算法，本文 为评估本文所提算法的性能，将其与另外6种 算法的用时却最短。 优秀算法(SaDE、CoDE、DE、HIS、DHS、NGHS) 为检验本文算法与比较算法之间的差异，表3 在l0个多模态的benchmark函数上比较测试。 列出了30次独立运算下本文算法与其他6种算法 F:Ackley Function; 之间置信度为0.05的Wilcoxon符号秩检验而得到 F2:Griewank Function; 的P-value值，“_”，+”，“≈”分别表示相应算法的成 F3:Levy Function; 绩与本文算法相比是差、好、相当。(NaN表示算法 F:Schwefel 2.22 Function; 成绩类似) Fs:Schwefel 2.26 Function; 从表3可以看出，其他6种算法在10个问题上 F:Rastrigin Function: 的成绩没有优于本文算法的，DIHS,IHS和CoDE F:FastFractal DoubleDip'Function; 分别在6个、4个和2个问题上与本文算法的成绩 Fs:Ackley Shift Function; 相当。由此可见，本文算法相较于其他算法在统计 F:Griewank Shift Function; 意义上有着更好的表现。 Fo:Rastrigin Shift Function. 为进一步分析实验结果，图2~5给出了7种算 其中F~F,是非常复杂的多模态函数，当维数 法在D=80维时30次独立运行的平均收敛曲线图 大于50时，很多优秀的群智能优化算法都不能得到 和最优解分布盒图。从收敛曲线图不难看出，本文 满意的解；FgFo是对3个经典的测试函数进行了 算法对两个复杂优化函数(fastfractal“doubledip” Shift操作，使其计算难度大幅增加，能够更好地测 function,rastrigin shift function)的收敛曲线呈下降3.2 算法流程 HHSDE 算法的具体流程如图 1 所示： 4 实验仿真测试 为评估本文所提算法的性能，将其与另外 6 种 优秀算法 (SaDE、CoDE、DE、HIS、DIHS、NGHS) 在 10 个多模态的 benchmark 函数[19]上比较测试。 F1：Ackley Function； F2：Griewank Function； F3：Levy Function； F4：Schwefel 2.22 Function； F5：Schwefel 2.26 Function； F6：Rastrigin Function； F7：FastFractal‘DoubleDip’ Function； F8：Ackley Shift Function； F9：Griewank Shift Function； F10：Rastrigin Shift Function。 其中 F1~F7 是非常复杂的多模态函数，当维数 大于 50 时，很多优秀的群智能优化算法都不能得到 满意的解；F8~F10 是对 3 个经典的测试函数进行了 Shift 操作，使其计算难度大幅增加，能够更好地测 ··· 试算法的通用性 (许多优秀的智能优化算法往往对 这类问题存在偏好型，比如当最优解在 (0,0， , 0) 时，求解性能非常好，反之性能变得很差)。 4.1 运行环境与参数设置 本文进行的所有测试，硬件环境为戴尔 PC 机： Intel Xeon(TM)i7-4790 3.6 GHz CPU,8 GB 内存; 软 件环境 Window7 操作系统，MATLAB 2014b 软 件。为公平起见，本文采用相同的最大适应度函数 评价次数 (MaxFEs=5 000×D), D 为维数。6 种比较 算法的参数设置参照于原文献，本文算法参数具体 设置为：Cr=0.4，F=0.5，PARmax=0.99，PARmax=0.1， bwmax=((x U –x L )/100，bwmin=(x U –x L )/1010 ，T=120 HMCR= 0.98，ρ=1.02，μ=1。 4.2 实验结果与分析 表 1～2 分别展示了 D=30 和 D=100 时，10 个 测试函数的 30 次独立实验统计结果，对每一个函数 都记录了最优解和最差解，并统计了 30 次实验的最 优平均值和运行时间。从表 1～2 可以看出，这 10 个 测试函数中，HHSDE 算法除了在函数 F4 (Schwefel 2.22 Function) 上仅弱于 SaDE 外，对其他问题， HHSDE 算法的评价指标均优于或不弱于其他 6 种 算法。在运行时间方面，当 D=30 时，本文算法仅 比 DE 算法用时稍长，在某些问题上与 NGHS 算法 相当，但远少于其他几种算法；当 D=100 时，算法用 时就仅少于 DE 算法。总体来说，对这 10 个多模态 复杂优化问题，用时短的算法在解的精度方面弱于 本文算法，而相较于获得相同最优解的算法，本文 算法的用时却最短。 为检验本文算法与比较算法之间的差异，表 3 列出了 30 次独立运算下本文算法与其他 6 种算法 之间置信度为 0.05 的 Wilcoxon 符号秩检验而得到 的 P-value 值，“–”，“+”，“≈”分别表示相应算法的成 绩与本文算法相比是差、好、相当。(NaN 表示算法 成绩类似) 从表 3 可以看出，其他 6 种算法在 10 个问题上 的成绩没有优于本文算法的，DIHS，IHS 和 CoDE 分别在 6 个、4 个和 2 个问题上与本文算法的成绩 相当。由此可见，本文算法相较于其他算法在统计 意义上有着更好的表现。 为进一步分析实验结果，图 2~5 给出了 7 种算 法在 D=80 维时 30 次独立运行的平均收敛曲线图 和最优解分布盒图。从收敛曲线图不难看出，本文 算法对两个复杂优化函数 (fastfractal“doubledip” function，rastrigin shift function) 的收敛曲线呈下降 ࡂ໷݉᪜࣮ ࡂ໷݉㓐⻹ t=1, SF(0)=0.5, k=0, s=0 r<SF(k) ㏿᲋ ᐬ໷ N Y Y N Y N ҫ⩔DEッ∁̬⁍喏 ⩔ᐻ(9)ȟ(7)ȟ(8)䔇㵸 䔙Џ,ᰠ᫜c 2 (k) ҫ⩔IHSッ∁HMS⁍喏 ᰠ᫜c1 (k) s=s+1 s<T s=0,k=k+1 ҫ⩔ᐻ(10)ȟ(11)ȟ (12)䃍ッSF(k+1) t=t+HMS t<Tmax 图 1 HHSDE 算法流程图 Fig. 1 The flow chart of HHSDE algorithm ·284· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷