第二十一讲球函数 第5页 §21.2球面调和函数 现在回到 Laplace方程在球坐标糸下的分离变量,为了确定起见,不妨先讨论球内 Laplace 方程的第一类边值问题 在球坐标系下,定解问题是 1 a 0, udu 0有界 ue=有界 有界 u==f(6,) 重复18讲第3节的步骤,令u(r,O,)=R()S(θ,),将上面的方程和齐次边界条件分离变量,得 d「adR(r) AS(6,以)=0 - AR(r)=0 ae sin20 do2 和S{b=0有界 Sl=有界 u=0有界 as ao lo=0 a%lo=2r 这也是一个本征值问题,偏微分方程的本征值问题 为了求出本征值A和相应的本征函数,可以再令S(6,0)=6(0)(),进一步分离变量,就有 sing de/ne de(0) 1 d 6()=0 "+p=0, 和 6(0)有界 6()有界 中(0)=更(2x),更(0)=更(2x) 这两个常微分方程的本征值问题都已经讨论过,分别见上一节和第18讲第1节.这样,对于偏微 分方程的本征值问题来说,本征值就是 A=l(+1),=0,1,2,3 而对应于一个本征值入,有2l+1个本征函数 Sm1(6,)=PP(cosb)cosmφ,m=0,1,2,…,l, SIm2(0, o)= P(cos 0)sin mo, m= 1, 2 这些本征函数,统称为球面调和函数,或球面谐函数 本征值问题的简并度是21+1,大于常微分方程本征值问题所许可的简并度2 关于R的常微分方程,在第20讲第3节中已经讨论过.它在有界条件下的解是R(r)=r2 这样,偏微分方程定解问题的特解就是 uml(r,6,o)=rPm(c∞os) cos mg,l=0,1,2,…,m=0,1,2,…,lWu Chong-shi ➫➭➯➲➳ ➵ ♣ q (➸) r 5 s §21.2 P◗❘❙☛☞ ❚✕ ❯◆ Laplace ✓✔✕❱❲ý ✭✚✛❳ ❨❩❬✢❭ ❪❫ à❴❵❂❛❜❝✎✏❱ ❞Laplace ✓✔✛ ❡￾ ✞❢❣ ❤✐✢ ✶❥❦❋❇⑧ ❂❭▼ ➼ ① ❄ 1 r 2 ∂ ∂r  r 2 ∂u ∂r  + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ  sin θ ∂u ∂θ  + 1 r 2sin2 θ ∂ 2u ∂φ2 = 0, u   θ=0 ⑩❶❂ u   θ=π ⑩❶, u   φ=0 = u   φ=2π , ∂u ∂φ    φ=0 = ∂u ∂φ    φ=2π , u   r=0 ⑩❶❂ u   r=a = f(θ, φ). ✵❧ 18 ✼✽ 3 ✾ ✺ ❋♠❂ ♥ u(r, θ, φ) = R(r)S(θ, φ) ❂ ➨➢⑨✺ ✴✵✽♦ ❥♣ ❶❷❸✰q ✮r❂ ❱ d dr  r 2 dR(r) dr  − λR(r) = 0, u   r=0 ⑩❶, ✽ 1 sin θ ∂ ∂θ  sin θ ∂S(θ, φ) ∂θ  + 1 sin2 θ ∂ 2S(θ, φ) ∂φ2 + λS(θ, φ) = 0, S   θ=0 ⑩❶❂ S   θ=π ⑩❶, S   φ=0 = S   φ=2π , ∂S ∂φ    φ=0 = ∂S ∂φ    φ=2π . ❏❇ ❄❀✘❺❻❼➼① ❂ st✉✈✇❮①②③④⑤ ✢ ■➑➈ ❹❺❻❼ λ ✽⑥➶✺ ❺❻❽❵ ❂ ◆❍✈♥ S(θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ) ❂ ❊ ❀❋ ✰q ✮r❂❯ ⑩ 1 sin θ d dθ  sin θ dΘ(θ) dθ  +  λ − µ sin2 θ  Θ(θ) = 0, Θ(0) ⑩❶❂ Θ(π) ⑩❶ ✽ Φ 00 + µΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ 0 (0) = Φ 0 (2π). ❏⑦ ✘ ➦ ❤ ✰ ✴✵✺ ❺❻❼➼① ❃ ⑧⑨➤➥❣ ❂ ✰⑩❶➢ ❀✾ ✽ ✽ 18 ✼✽ 1 ✾✢❏ ❁❂➄ ②❷ ❤ ✰ ✴✵✺ ❺❻❼➼① ❂ ❑ ❂❺❻❼❯❄ λl = l(l + 1), l = 0, 1, 2, 3, · · · , ❅ ➄ ➶② ❀✘❺❻❼ λl ❂ ⑩ 2l + 1 ✘❺❻❽❵ Slm1(θ, φ) = Pm l (cos θ) cos mφ, m = 0, 1, 2, · · · , l, Slm2(θ, φ) = Pm l (cos θ) sin mφ, m = 1, 2, · · · , l. ❏❸ ❺❻❽❵ ❂❹ ➺■ ❺❻❼❽ÐÑ ❂ ❈ ❺❻❾ÐÑ ✢ ❺❻❼➼①✺❿✎➀❄ 2l + 1 ❂➁ ②➦ ❤ ✰ ✴✵❺❻❼➼①●➂◆✺❿✎➀ 2 ✢ ➃② R ✺➦ ❤ ✰ ✴✵❂✶ ✽ 20 ✼✽ 3 ✾ ⑦ ⑧⑨➤➥❣✢ ➅ ✶⑩❶❷❸⑧✺▼❄ Rl(r) = r l ✢ ❏ ❁❂❷ ❤ ✰ ✴✵❭▼ ➼ ①✺➄▼ ❯❄ ulm1(r, θ, φ) = r lP m l (cos θ) cos mφ, l = 0, 1, 2, · · · , m = 0, 1, 2, · · · , l