§21.2球面调和函数 第6页 um2(r,6,a)=rPm(cos)sinm,l=0,1,2,…,m=1,2,…,l 而一般解则为 u(r, 8, o) rPr(cosθ)[ AIm cos m+B1 sIn可 l=0m=0 综合19讲第4节和本讲第1节的讨论,可以看出,l或m不同的球面调和函数在整个4丌立 体角上是彼此正交的, Pl(cos 0)Pk(cos 0)sin e de cos n k,m≠n, Pr(oP(ond) sin mosin no do=0、1≠k、m≠n Pi(cos 0)Pk(cos 0)sin e de/ cos mo sin no do=0,If k, m+ 同样,还可以写出球面调和函数的模方 Pm(cos 0)] sin ede/cos -modo =(+m)! 2T_(1+8mo) [Pm(cos 0)] sin 0de/sin'modos (+m)2x 在物理上常用的是另一种形式的球面调和函数 第一,是将本征值问题 4+p=0, p0)=(2n),\(0)=型(2n) 的解在形式上写成 本征值 Am m 本征函数m(d)=e 这样,对应于一个本征值A=l(1+1),l=0,1,2,3,…,偏微分方程本征值问题的本征函数就是 Sm(0,0)=Pl(cos)em,m=0,±1,±2 这样定义的球面调和函数,其正交关系和模方可以写成更简单的形式 SIm(8, o)Sk,(0, )sin dedo (+|ml)!4π (l-|m)2 由于现在的本征函数是复函数,所以在正交关糸和模方的公式中,要把其中的一个本 函数取复共轭.其直接原因是为了保证本征函数的模方恒为正值Wu Chong-shi §21.2 ➵➅➆➇♣q r 6 s ✽ ulm2(r, θ, φ) = r lP m l (cos θ) sin mφ, l = 0, 1, 2, · · · , m = 1, 2, · · · , l. ❅ ❀➉▼ ❉ ■ u(r, θ, φ) = X∞ l=0 X l m=0 r lP m l (cos θ) [Alm cos mφ + Blm sin mφ] . ➈➉ 19 ✼✽ 4 ✾ ✽ ❺✼✽ 1 ✾ ✺➤➥❂ ◆❍➊ ❹❂ l ➋ m ❐➮❮❺❻❼❽ÐÑ➀➌➍ 4π ➎ ➏➐Ô➑➒➓ÕÖ❮ ❂ Z π 0 P m l (cos θ)Pn k (cos θ) sin θ dθ Z 2π 0 cos mφ cos nφ dφ = 0, l 6= k, m 6= n, Z π 0 P m l (cos θ)Pn k (cos θ) sin θ dθ Z 2π 0 sin mφ sin nφ dφ = 0, l 6= k, m 6= n, Z π 0 P m l (cos θ)Pn k (cos θ) sin θ dθ Z 2π 0 cos mφ sin nφ dφ = 0, l 6= k, m 6= n. ➔ ❁❂➐◆❍❖❹ ❺❻❼❽ÐÑ❮→ ✈ Z π 0 P m l (cos θ) 2 sin θdθ Z 2π 0 cos2mφ dφ = (l + m)! (l − m)! 2π 2l + 1 (1 + δm0), Z π 0 P m l (cos θ) 2 sin θdθ Z 2π 0 sin2mφ dφ = (l + m)! (l − m)! 2π 2l + 1 . ✶➣↔➢➦❴✺ ❄ ✪ ❀✰ ◗❘✺❥⑨↕✽ ❽ ❵✢ F ✽❀❂❄➨ ❺❻❼➼① Φ 00 + µΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ 0 (0) = Φ 0 (2π). ✺▼✶◗❘➢❖P ❺❻❼ µm = m2 , m = 0, ±1, ±2, ±3 · · ·, ❺❻❽❵ Φm(φ) = eimφ . ❏ ❁❂➄ ➶② ❀✘❺❻❼ λl = l(l + 1) ❂ l = 0, 1, 2, 3, · · · ❂ ❷ ❤ ✰ ✴✵❺❻❼➼①✺ ❺❻❽❵ ❯❄ Slm(θ, φ) = P|m| l (cos θ)eimφ, m = 0, ±1, ±2, · · ·, ±l. ❏ ❁❭✍ ✺❥⑨↕✽ ❽ ❵ ❂ ⑥ ❈➴➃❇✽ ✶✴ ◆❍❖P➙❿➛✺◗❘❂ Z π 0 Z 2π 0 Slm(θ, φ)S ∗ kn(θ, φ) sin θdθdφ= (l + |m|)! (l − |m|)! 4π 2l + 1 δlkδmn. ▲Ü❚✕✛✌ûìä ✤➜ìä ❂➝ ó✕éê ✬✭✩➞✓✛➟ ✝ ë ❂➠➡➢ ë✛￾✁✌ û ìä➤ ➜➥➦✢ ➢➧➨● å✤❭ ❪➩ ù ✌ûìä✛ ➞✓➫ ❭é❣✢