在z=i的留数 (z2+1)(x2-2 z cos e+1) 在z=e的留数 可以计算 被积函数在z=i的留数 被积函数在2=c的留数=(om+1)2sm 2 cos e(cos 8 +isin 0)2i sin 0 同时,因为 12(2+1(2-220804+1)=0 根据大圆弧引理,有 综合上述结果,取极限R 得到 (r2+1(r2-2r cos 0+ dr sing 积分围道 (2分) 被积函数 (2分) 留数定理 (3分) 奇点i及留数计算 奇点e及留数计算 (4分) 大圆弧引理 (2分) 结果 (3分) 四、(2)(20分) 取围道如图87,考虑复变积分 2(2+4) 根据留数定理有 x(x2+4)2 sz(x2+4) ,x+可+/+可= 2πi  1 (z 2 + 1)(z 2 − 2z cos θ + 1)❋ z = i P❤✸ + 1 (z 2 + 1)(z 2 − 2z cos θ + 1)❋ z = eiθ P❤✸  . ➭➲ ➉➊ Ü ❩ ✹✸❋ z = i P❤✸ = 1 2i(−2i cos θ) = 1 4 cos θ Ü , ❩ ✹✸❋ z = eiθ P❤✸ = 1 (ei2θ + 1)2i sin θ = 1 2 cos θ(cos θ + i sin θ)2i sin θ = −i cos θ − i sin θ 4 cos θ sin θ = −i 1 4 sin θ − 1 4 cos θ . Ý ➧ ✛✿❖ limz→∞ z · 1 (z 2 + 1)(z 2 − 2z cos θ + 1) = 0, ÔÕÞÑ ßàÖ✛× lim R→∞ 1 (z 2 + 1)(z 2 − 2z cos θ + 1)dz = 0. áâ❸➚ãä✛❰åæ R → ∞ ✛ç➽➾ Z ∞ −∞ 1 (x 2 + 1)(x 2 − 2x cos θ + 1)dx = π 2 sin θ . ❩ ✶ ❮Ï Ü (2 ✶) ❩ ✹✸ (2 ✶) ❤ ✸ ➇Ö (3 ✶) è❲ i é ❤ ✸➉➊ (4 ✶) è❲ e iθ é ❤ ✸➉➊ (4 ✶) Þ Ñ ßàÖ (2 ✶) ãä (3 ✶) ➈✲ (2) (20 ✶) ❰❮Ïêë 8.7 ✛ÒÓ● ➑❩ ✶ I e iz z(z 2 + 4)dz. ÔÕ❤✸ ➇Ö× I e iz z(z 2 + 4)dz = Z −δ −R e ix x(x 2 + 4)dx + Z Cδ e iz z(z 2 + 4)dz = Z R δ e ix x(x 2 + 4)dx + Z CR e iz z(z 2 + 4)dz 6