§3双线性函数 定义3V是数域P上一个线性空间,f(a,B)是上一个二元函数,即对V 中任意两个向量a,B,根据∫都唯一地对应于P中一个数f(a,B).如果f(a,B) 有下列性质 1)f(a,kB1+k2B2)=k1f(a,B1)+k2f(a,月2); 2)f(ka1+k2a2,B)=k,f(a1,B)+k2f(a2,B), 其中∝,a,a2,B,B,B2是V中任意向量,k,k2是P中任意数,则称f(a,B)为V上 的一个双线性函数 这个定义实际上是说对于V上双线性函数f(a,B),将其中一个变元固定时 是另一个变元的线性函数 例1欧氏空间V的内积是V上双线性函数 例2设f(ax),f2(a)都是线性空间上的线性函数,则 f(a, B)=f(a)2(B), a,BEl 是上的一个双线性函数 例3设P是数域P上n维列向量构成的线性空间X,∈P再设A是P上 级方阵令 f(X,Y=XAr 则f(X,Y)是P”上的一个双线性函数 如果设X'=(x1,x2,…,xn),Y=(y,y2,…,yn),并设 A f(X,r)§3 双线性函数 定义 3 V 是数域 P 上一个线性空间， f (,  ) 是 V 上一个二元函数，即对 V 中任意两个向量 ,  ，根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f (,  ) .如果 f (,  ) 有下列性质： 1） ( , ) ( , ) ( , )  11 2 2 1  1 2   2 f k + k = k f + k f ; 2） ( , ) ( , ) ( , ) f k11 + k22  = k1 f 1  + k2 f 2  , 其中 1 2 1 2 , , ,, , 是 V 中任意向量， 1 2 k ,k 是 P 中任意数，则称 f (,  ) 为 V 上 的一个双线性函数. 这个定义实际上是说对于 V 上双线性函数 f (,  ) ，将其中一个变元固定时 是另一个变元的线性函数. 例 1 欧氏空间 V 的内积是 V 上双线性函数. 例 2 设 ( ), ( ) f 1  f 2  都是线性空间 V 上的线性函数，则 f (,) = f 1 () f 2 (), ,  V 是 V 上的一个双线性函数. 例 3 设 n P 是数域 P 上 n 维列向量构成的线性空间. n X,Y  P 再设 A 是 P 上 n 级方阵.令 f (X,Y) = X AY , (1) 则 f (X,Y) 是 n P 上的一个双线性函数. 如果设 ( , , , ), ( , , , ) 1 2 n 1 2 n X  = x x  x Y = y y  y ，并设               = n n nn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 则 = = = n i n j ij i j f X Y a x y 1 1 ( , ) . (2)