1468 工程科学学报.第41卷，第11期 表1F3机架轧机结构参数 Table 1 Structural parameters of F3 rolling mill J/(kg:m2) /(kg.m2) /(kg:m2) Ja/(kg-m2) Js/(kg-m2) J6/(kg:m2) 2.12×10 5.31×103 3.81×102 1.3×102 1.3×10 1.70×103 /(kg:m2) m /kg m2 /kg k/(N.m-.rad) kz/(N.m-.rad) k/(N.m-.rad) 1.73×103 1.17×10 1.17×103 2×109 1×103 3.83×10 k/(N.m.rad) /(N.m rad) k/(N.mrad) k/(N-1.m) k2 /(N-1.m) ky/(N-1-m) 2×103 1.1×103 1.1×103 7.3×103 7.3×103 1.6×1010 k2 /(N-1.m) R1/m R2/m r2/m r3/m ra/m 1.6×1010 0.345 0.345 0.195 0.544 0.245 表2F3机架轧制工艺参数 Table 2 Process parameters of F3 rolling mill 入口厚度m 出口厚度/m 入口张力MPa 出口张力MPa 变形抗力MPa 11.187×103 4.605×10-3 14.939 14.939 188.7 0.35 =0.17的直线上分别取点A、B、C、D进行研究 四个点及邻域的特征根和失稳形式如表3所示 0.304 A· ,e22 在上下表面摩擦系数和为0.34的直线上分别取点 025，E 水平失稳 E、B、F、G进行研究，四个点及邻域的特征根和失 Ω1 稳形式如表4所示.1.2、34是随着上下界面摩擦 稳定 系数的变化，实部出现正值的两对特征根 B. 23 从表3可以看出，下界面摩擦系数μ2=0.17时， 水平失稳 曲线=0.17上的B点的特征都具有负实部，系统 0.10 处于稳定状态；在A点和C点处出现具有正实部 G:1 的特征根12，可见系统处于不稳定状态，失稳频 0.05 率可以由虚部求得，失稳形式为水平失稳；在D点 .05 0.100i50.200.250.300.35 下表面摩擦系数 处的特征根有两对都具有正实部，可见系统处于 图3上下表面不同摩擦系数下的稳定域 不稳定状态，且失稳形式为水平失稳和扭转失稳 Fig.3 Stability domain at different friction coefficients between upper 从表4可以看出，上下界面摩擦系数和为0.34时， and lower surfaces 曲线4山1+2=0.34上的B点的特征都具有负实部， 图3表示在上下表面不同摩擦系数配比下的 系统处于稳定状态；在E点和F点处出现具有正 稳定域.从图中可以看出，整个图形分为四个区 实部的特征根12，可见系统处于不稳定状态，且 域，21为系统的稳定域，其他区域为不稳定域.为 失稳形式为水平失稳；在G点处的特征根有两对 进一步分析系统动态特性，在下表面摩擦系数 都具有正实部，可见系统处于不稳定状态，且失稳 表3A、B、C、D点稳定性失稳形式 Table 3 Eigenvalue and instability type of point A,point B,point C,and point D 数据点 2 12/103 3,4/103 失稳形式 0.3 0.17 0.0001±0.2376i -0.002+0.0855i 37.8Hz水平失稳 B 0.17 0.17 -0.0002±0.2418i -0.005+0.0755i 稳定 C 0.09 0.17 0.0003±02457i -0.002±0.0642i 39.1Hz水平失稳 39.3Hz水平失稳 0.06 0.17 0.0009±0.2472i 0.0012+0.0613i 9.76Hz扭转失稳图 3 表示在上下表面不同摩擦系数配比下的 稳定域. 从图中可以看出，整个图形分为四个区 域，Ω1 为系统的稳定域，其他区域为不稳定域. 为 进一步分析系统动态特性，在下表面摩擦系数 µ2 = 0.17 的直线上分别取点 A、B、C、D 进行研究. 四个点及邻域的特征根和失稳形式如表 3 所示. 在上下表面摩擦系数和为 0.34 的直线上分别取点 E、B、F、G 进行研究，四个点及邻域的特征根和失 稳形式如表 4 所示. λ1,2、λ3,4 是随着上下界面摩擦 系数的变化，实部出现正值的两对特征根. µ2 =0.17 µ2 = 0.17 µ1 +µ2 = 0.34 从表 3 可以看出，下界面摩擦系数 时， 曲线 上的 B 点的特征都具有负实部，系统 处于稳定状态；在 A 点和 C 点处出现具有正实部 的特征根 λ1,2，可见系统处于不稳定状态，失稳频 率可以由虚部求得，失稳形式为水平失稳；在 D 点 处的特征根有两对都具有正实部，可见系统处于 不稳定状态，且失稳形式为水平失稳和扭转失稳. 从表 4 可以看出，上下界面摩擦系数和为 0.34 时， 曲线 上的 B 点的特征都具有负实部， 系统处于稳定状态；在 E 点和 F 点处出现具有正 实部的特征根 λ1,2，可见系统处于不稳定状态，且 失稳形式为水平失稳；在 G 点处的特征根有两对 都具有正实部，可见系统处于不稳定状态，且失稳 表 1  F3 机架轧机结构参数 Table 1 Structural parameters of F3 rolling mill J1 /（kg·m2 ） J2 /（kg·m2 ） J3 /（kg·m2 ） J4 /（kg·m2 ） J5 /（kg·m2 ） J6 /（kg·m2 ） 2.12×104 5.31×103 3.81×102 1.3×102 1.3×102 1.70×103 J7 /（kg·m2 ） m1 /kg m2 /kg k1 /（N·m−1·rad） k2 /（N·m−1·rad） k3 /（N·m−1·rad） 1.73×103 1.17×104 1.17×104 2×109 1×108 3.83×108 k4 /（N·m−1·rad） k5 /（N·m−1·rad） k6 /（N·m−1·rad） kh1 /（N −1·m） kh2 /（N −1·m） kv1 /（N −1·m） 2×108 1.1×108 1.1×108 7.3×108 7.3×108 1.6×1010 kv2 /（N −1·m） R1 /m R2 /m r2 /m r3 /m r4 /m 1.6×1010 0.345 0.345 0.195 0.544 0.245 表 2  F3 机架轧制工艺参数 Table 2 Process parameters of F3 rolling mill 入口厚度/m 出口厚度/m 入口张力/MPa 出口张力/MPa 变形抗力/MPa 11.187×10−3 4.605×10−3 14.939 14.939 188.7 表 3  A、B、C、D 点稳定性失稳形式 Table 3 Eigenvalue and instability type of point A, point B, point C, and point D 数据点 µ1 µ2 λ1,2/103 λ3,4/103 失稳形式 A 0.3 0.17 0.0001±0.2376i −0.002+0.0855i 37.8 Hz水平失稳 B 0.17 0.17 −0.0002±0.2418i −0.005+0.0755i 稳定 C 0.09 0.17 0.0003± 0.2457i −0.002±0.0642i 39.1 Hz水平失稳 D 0.06 0.17 0.0009± 0.2472i 0.0012+0.0613i 39.3 Hz水平失稳 9.76 Hz扭转失稳 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 上表面摩擦系数 0.20 0.25 0.30 0.35 D G E F B Ω2 水平失稳 Ω3 水平失稳 Ω4 水平扭转失稳 Ω1 稳定 A C 0.05 0.10 0.15 下表面摩擦系数 图 3    上下表面不同摩擦系数下的稳定域 Fig.3    Stability domain at different friction coefficients between upper and lower surfaces · 1468 · 工程科学学报，第 41 卷，第 11 期