黄金磊等：热轧过程中摩擦系数非对称性对轧机振动及稳定性的影响 ·1467· (FxI FxI(Xd,Xn1,Xn2,Xe,u1) 各结构参数如表1所示 F2=Fx2(Xd,XnI,Xn2,Xe:H2) 振动系统的平衡方程可以表示为： Fyl Fyl(Xd,Xnl,Xn2,Xe,u1) Fy2 Fy2(Xd.Xnl.Xn2,Xe:u2) (1) Jha1+c1(01-2)+1(01-2)=0 TITi(Xd,Xn1,Xn2,Xe.u1) J202-c1(01-02)-k1(01-02)+c2(202-303)r2+ T2T2(Xd,Xn1,Xn2,Xe,u2) k2(202-r30)r2=0 J3-c2(2h-r3)r3-k2(n2-)r3+ 式中，Fx1、F2、Fyl、F2、T、T2分别为上下辊系水 c3(03-05)+k3(0-05)=0 平分力、上下辊系垂直分力和上下辊系扭转力矩， J404-c4(rs5-r404)r4-k4(s05-r404)r4+ X、Xa、XX2、山、2分别为入口位置、出口位 c6(04-06)+k6(04-6)=0 置、上中性点位置、下中性点位置、上界面摩擦系 J55-c3(a-s)-k3(-s)+c4(s05-r404)rs+ 数和下界面摩擦系数 k4(r50s-r404)rs 由一阶泰勒展开式可以得到轧制力、轧制力 +cs(05-0)+ks(05-0)=0 矩的动态变化量： J66-c6(d4-06)-k6(04-06)=-T2vam J7-cs(05-)-ks(05-0)=-T1vm (Fxlvar =Fxlvar(Xdvar,Xnlvar,Xn2var,Xevar,M1) m+Chl+k=Fixvar Fx2var =Fx2var(Xdvar,Xnlvar,Xn2var,Xevar,H2) m2+Ch2+kh2x2=F2xvar Fylvar Fylvar(Xdvar,Xnlvar,Xn2var,Xevar,M1) (2) m+cviy+kvly1 Flyvar Fy2var =Fy2var(Xdvar,Xnlvar,Xn2var,Xevar:M2) m2j+cv2y+kv2y2 =-F2yvar Tivar =TIvar(Xdvar,Xnlvar,Xn2var,Xevar,HI) (3) (T2var=T2var(Xdvar,Xnlvar,Xn2var,Xevar.H2) 将式(3)化为自治的时域状态方程 12轧机结构模型 之=D.(t) (4) 针对某热轧机的结构特征，为了便于研究，将 轧机上、下辊系分别简化为质量弹簧系统，可以建 式中，2={01,01,02,02,03,3,04,04,05,5,06,06,0，，x1, 立如图2所示的结构模型 1,2,2,y1,1,y2,2} 图2中，J1为电机转动惯量，0为电机扭转振 2摩擦系数非对称性对系统稳定性的影响 动，J2、J3和02、03分别为减速机大小齿轮转动惯量 和扭转振动，J4、5和4、s分别为人字齿轮座下、 轧机系统中上下轧辊和板带间摩擦系数不一 上齿轮转动惯量和扭转振动，J6、Jh和、历分别为 致时，采用非对称模型分析摩擦系数非对称性对 下、上辊系等效转动惯量和扭转振动，m1、m2、、 轧机系统稳定性的影响可以更加全面的理解轧机 x2和y1、2分别为上、下辊系等效质量、水平振动 振动的机理和形式.本文讨论了上下界面摩擦系 和垂直振动，R1、R2分别为上、下工作辊半径， 数在不同非对称性下系统的稳定性，取表1中的 k(i=1,3,5,6)为各轴段相应的等效扭转刚度，k2为 结构参数，工艺参数如表2所示 齿轮减速机高低速齿轮间沿着啮合线度量的啮合 系统稳定的充分必要条件是：状态方程特征 刚度，k4为人字齿轮座上下齿轮间沿着啮合线度量 矩阵D的全部特征根都具有负实部，即所有特征根 的啮合刚度，(i=2,3,4,5)分别为减速机高速齿轮 实部是负数；若特征矩阵的特征根中出现正实部， 和低速齿轮、人字齿轮座上下齿轮的分度圆半径， 则系统不稳定.根据稳定性准则得到辊系和板带 1,kv1,2,k2分别为上下轧辊的垂直方向刚度、 间上、下界面摩擦系数1、2不同配比下的稳定 水平方向刚度.根据某钢厂提供的数据，F3机架 域，仿真结果如图3所示 图2轧机辊系简化结构模型 Fig.2 Simplified structure model of rolling mill   Fx1 = Fx1(Xd,Xn1,Xn2,Xe, µ1) Fx2 = Fx2(Xd,Xn1,Xn2,Xe, µ2) Fy1 = Fy1(Xd,Xn1,Xn2,Xe, µ1) Fy2 = Fy2(Xd,Xn1,Xn2,Xe, µ2) T1 = T1(Xd,Xn1,Xn2,Xe, µ1) T2 = T2(Xd,Xn1,Xn2,Xe, µ2) （1） Fx1 Fx2 Fy1 Fy2 T1 T2 Xe Xd Xn1 Xn2 µ1 µ2 式中， 、 、 、 、 、 分别为上下辊系水 平分力、上下辊系垂直分力和上下辊系扭转力矩， 、 、 、 、 、 分别为入口位置、出口位 置、上中性点位置、下中性点位置、上界面摩擦系 数和下界面摩擦系数. 由一阶泰勒展开式可以得到轧制力、轧制力 矩的动态变化量：    Fx1var = Fx1var(Xdvar,Xn1var,Xn2var,Xevar, µ1) Fx2var = Fx2var(Xdvar,Xn1var,Xn2var,Xevar, µ2) Fy1var = Fy1var(Xdvar,Xn1var,Xn2var,Xevar, µ1) Fy2var = Fy2var(Xdvar,Xn1var,Xn2var,Xevar, µ2) T1var = T1var(Xdvar,Xn1var,Xn2var,Xevar, µ1) T2var = T2var(Xdvar,Xn1var,Xn2var,Xevar, µ2) （2） 1.2    轧机结构模型 针对某热轧机的结构特征，为了便于研究，将 轧机上、下辊系分别简化为质量弹簧系统，可以建 立如图 2 所示的结构模型. J1 θ1 J2 J3 θ2 θ3 J4 J5 θ4 θ5 J6 J7 θ6 θ7 m1 m2 x1 x2 y1 y2 R1 R2 ki(i = 1,3,5,6) k2 k4 ri(i = 2,3,4,5) kh1 kv1 kh2 kv2 图 2 中 ， 为电机转动惯量， 为电机扭转振 动， 、 和 、 分别为减速机大小齿轮转动惯量 和扭转振动， 、 和 、 分别为人字齿轮座下、 上齿轮转动惯量和扭转振动， 、 和 、 分别为 下、上辊系等效转动惯量和扭转振动， 、 、 、 和 、 分别为上、下辊系等效质量、水平振动 和垂直振动 ， 、 分别为上 、下工作辊半径 ， 为各轴段相应的等效扭转刚度， 为 齿轮减速机高低速齿轮间沿着啮合线度量的啮合 刚度， 为人字齿轮座上下齿轮间沿着啮合线度量 的啮合刚度， 分别为减速机高速齿轮 和低速齿轮、人字齿轮座上下齿轮的分度圆半径， ， ， ， 分别为上下轧辊的垂直方向刚度、 水平方向刚度. 根据某钢厂提供的数据，F3 机架 各结构参数如表 1 所示. 振动系统的平衡方程可以表示为：    J1θ¨ 1 +c1(θ˙ 1 −θ˙ 2)+k1(θ1 −θ2) = 0 J2θ¨ 2 −c1(θ˙ 1 −θ˙ 2)−k1(θ1 −θ2)+c2(r2θ˙ 2 −r3θ˙ 3)r2+ k2(r2θ2 −r3θ3)r2 = 0 J3θ¨ 3 −c2(r2θ˙ 2 −r3θ˙ 3)r3 −k2(r2θ2 −r3θ3)r3+ c3(θ˙ 3 −θ˙ 5)+k3(θ3 −θ5) = 0 J4θ¨ 4 −c4(r5θ˙ 5 −r4θ˙ 4)r4 −k4(r5θ5 −r4θ4)r4+ c6(θ˙ 4 −θ˙ 6)+k6(θ4 −θ6) = 0 J5θ¨ 5 −c3(θ˙ 3 −θ˙ 5)−k3(θ3 −θ5)+c4(r5θ˙ 5 −r4θ˙ 4)r5+ k4(r5θ5 −r4θ4)r5 +c5(θ˙ 5 −θ˙ 7)+k5(θ5 −θ7) = 0 J6θ¨ 6 −c6(θ˙ 4 −θ˙ 6)−k6(θ4 −θ6) = −T2var J7θ¨ 7 −c5(θ˙ 5 −θ˙ 7)−k5(θ5 −θ7) = −T1var m1 x¨1 +ch1 x˙1 +kh1 x1 = F1xvar m2 x¨2 +ch2 x˙2 +kh2 x2 = F2xvar m1y¨1 +cv1y˙1 +kv1y1 = F1yvar m2y¨2 +cv2y˙2 +kv2y2 = −F2yvar （3） 将式 (3) 化为自治的时域状态方程 z˙ = D·z˙(t) （4） z˙ = { θ1, θ˙ 1, θ2, θ˙ 2, θ3, θ˙ 3, θ4, θ˙ 4, θ5, θ˙ 5, θ6, θ˙ 6, θ7, θ˙ 7, x1, x˙1, x2, x˙2, y1, y˙1, y2, y˙2} 式中 ， . 2    摩擦系数非对称性对系统稳定性的影响 轧机系统中上下轧辊和板带间摩擦系数不一 致时，采用非对称模型分析摩擦系数非对称性对 轧机系统稳定性的影响可以更加全面的理解轧机 振动的机理和形式. 本文讨论了上下界面摩擦系 数在不同非对称性下系统的稳定性，取表 1 中的 结构参数，工艺参数如表 2 所示. D µ1 µ2 系统稳定的充分必要条件是：状态方程特征 矩阵 的全部特征根都具有负实部，即所有特征根 实部是负数；若特征矩阵的特征根中出现正实部， 则系统不稳定. 根据稳定性准则得到辊系和板带 间上、下界面摩擦系数 、 不同配比下的稳定 域，仿真结果如图 3 所示. TM J1 θ1 J2 θ2 J4 θ4 J6 θ6 k1 c1 k2 k3 c3 k6 c6 J3 θ3 J5 θ5 J7 kv1 kh1 ch1 T1var Fy1var y1 x1 y2 x2 Fx1var cv1 θ7 θ7 kv2 kh2 ch2 T1varFy2var Fx2var cv2 θ6 k5 c5 c2 k4 c4 图 2    轧机辊系简化结构模型 Fig.2    Simplified structure model of rolling mill 黄金磊等： 热轧过程中摩擦系数非对称性对轧机振动及稳定性的影响 · 1467 ·