lr d x d x d 1 n Riemann-Stieltjes积分 下面简单介绍与 Riemann-Stieltjes积分相应的结果.设a(x)是[a,b]上的单调增加 的函数,f(x)是定义在有界闭区间[a,b]上的有界实值函数.又设P={x0,x1…,xk}是 [a,b]的一个分割对每个i=1,…,k,令 m,=inf(f(x): xE[x,x, M=supf(x):xE[x,x1i ∫关于分割P的 Darboux下和与 Darboux上和分别定义为 s(,P)=∑m(a(x)-a(x-1),S(,P)=∑Ma(x 定义∫关于a的下积分L和上积分/分别为 (f)=sup{s(f,P):P是[a,b的分割} (f)=infS(f,P):P是[a,b的分割 如果=1,则称∫在[a,b]上关于a是 Riemann-Stieltjes可积的(简称为RS可积的,并 称和Ⅰ公共值为f在[a,b]上关于a的 Riemann- Stieltjes积分(简称为RS积分,记为 fda(x) 显然, Riemann积分是RS积分当a(x)=x时的特殊情形.关于可积性,不难证明如 下结果,其证明从略 定理4若∫是[a,b]上的连续函数,则对任意单调增加的函数a,∫关于a是RS 可积的 设a是[a,b]上的右连续单调增加的函数,4是由a(x)在[ab]上导出的RS测度 将定理2的证明作适当的修改可以证明如下定理 定理5设∫是定义在[a,b]上的有界实值函数,a是[a,b]上的单调增加的右连续 函数.则 (i)∫在[ab]上关于a是RS可积的当且仅当∫在[a,b]上关4a几乎处处连续 (i)若∫关于a是R-S可积的,则∫关于a是LS可积的,并且两种积分相等,即 fda(x)= fdu 小结本节讨论了直线上的 Rieman积分(包括广义 Riemann积分)与 Lebesgue积 分之间的关系.同时给出 Riemann可积函数的一个简明的充要条件.定理2表明 Lebesgue118 . 1 1 1 ln 1 1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ∫0 ∫ ∑ ∑∫ ∑ ∞ = ∞ = ∞ − = − = = = − n n n n n n dx n x dx n x dx x x Riemann-Stieltjes 积分 下面简单介绍与 Riemann-Stieltjes 积分相应的结果. 设α(x) 是[a,b]上的单调增加 的函数, f (x) 是定义在有界闭区间[a,b]上的有界实值函数. 又设 { , , , } 0 1 k P = x x L x 是 [a,b]的一个分割. 对每个i = 1,L, k, 令 inf{ ( ) : [ , ]}, i i 1 i m f x x x x = ∈ − sup{ ( ) : [ , ]}. i i 1 i M f x x x x = ∈ − f 关于分割 P 的 Darboux 下和与 Darboux 上和分别定义为 ( , ) ( ( ) ( )), ( , ) ( ( ) ( )). 1 1 1 ∑ 1 ∑= − = = − − = − k i i i i k i i i i s f P m α x α x S f P M α x α x 定义 f 关于α 的下积分 I 和上积分 I 分别为 I( f ) = sup{s( f , P) : P是[a,b]的分割}, I( f ) = inf{S( f , P) : P是[a,b]的分割}. 如果 I = I , 则称 f 在[a,b]上关于α 是 Riemann-Stieltjes 可积的(简称为 R-S 可积的), 并 称 I 和 I 公共值为 f 在[a,b]上关于α 的 Riemann-Stieltjes 积分(简称为 R-S 积分), 记为 ( ). ∫ b a f dα x 显然, Riemann 积分是 R-S 积分当α(x) = x 时的特殊情形. 关于可积性, 不难证明如 下结果, 其证明从略. 定理 4 若 f 是[a,b]上的连续函数, 则对任意单调增加的函数α , f 关于α 是 R-S 可积的. 设α 是[a,b]上的右连续单调增加的函数, µ α是由α(x) 在[a,b]上导出的 R-S 测度. 将定理 2 的证明作适当的修改,可以证明如下定理. 定理 5 设 f 是定义在[a,b]上的有界实值函数, α 是[a,b]上的单调增加的右连续 函数. 则 (i) f 在[a,b]上关于α 是 R-S 可积的当且仅当 f 在[a,b]上关 µ α 几乎处处连续. (ii) 若 f 关于α 是 R-S 可积的, 则 f 关于α 是 L-S 可积的, 并且两种积分相等, 即 = ∫ b a fdα(x) . ∫ b a fdµ α 小 结 本节讨论了直线上的 Riemann 积分(包括广义 Riemann 积分)与 Lebesgue 积 分之间的关系. 同时给出 Riemann 可积函数的一个简明的充要条件. 定理 2 表明 Lebesgue