情况下,此时∫的 Riemann积分可视为 Lebesgue积分,因而可以应用 Lebesgue积分的性 质例如极限定理等 定理2和定理3也表明,若∫在某区间上同时是(正常或者广义尺R可积和L可积的,则 这两种积分值相等因此以后f在区间上的R积分和L积分都用广体和∫”质等表 示,不会发生混淆 例1设∫(x)=x.在数学分析课程中熟知,∫在[0+∞)上的广义 Riemann积 分是收敛的但不是绝对收敛的由定理3,∫在[0,+∞)上不是L可积的 nsIn 例2证明lim d x= (1+x2)x 证明令 nsin f (x) n≥1.g(x) 则g,n21.由于广义 Riemann积分。g在收敛由定理3知道g在[+∞)上是 L可积的因此每个,是L可积的由定理3「fd可以视为Lhsg积分由于 (n→>∞).利用控制收敛定理得到 1+x nsIn limO 例3证∫1,1 In -dx= 证明由泰勒级数知道 十仍 0<x<1 x IA nal n (6)式在x=0和x=1不成立.但m({0,1})=0,故(7)式在[O,]上几乎处处成立.由于在 [0,1上 f(x)=n20,f(x) 由定理3知道它们的积分都可以视为 Lebesgue积分.利用推论3我们有 117117 情况下,此时 f 的 Riemann 积分可视为 Lebesgue 积分, 因而可以应用 Lebesgue 积分的性 质例如极限定理等. 定理 2 和定理 3 也表明, 若 f 在某区间上同时是(正常或者广义)R 可积和 L 可积的, 则 这两种积分值相等. 因此以后 f 在区间上的 R 积分和 L 积分都用 ∫ b a fdx 和 ∫ +∞ a fdx 等表 示, 不会发生混淆. 例 1 设 . sin ( ) x x f x = 在数学分析课程中熟知, f 在[0,+ ∞) 上的广义 Riemann 积 分是收敛的但不是绝对收敛的. 由定理 3, f 在[0,+ ∞) 上不是 L 可积的. 例 2 证明 . (1 ) 2 sin lim 0 2 π = + ∫ +∞ →∞ dx x x n x n n 证明 令 , (1 ) sin ( ) 2 x x n x n f x n + = n ≥ 1. . 1 1 ( ) 2 x g x + = 则 f ≤ g, n ≥ 1. n 由于广义 Riemann 积分 ∫ +∞ 0 gdx 收敛. 由定理 3 知道 g 在[0,+ ∞) 上是 L 可积的. 因此每个 n f 是 L 可积的. 由定理 3,∫ +∞ 0 f dx n 可以视为 Lebesgue 积分.由于 , 1 1 2 x f n + → (n → ∞). 利用控制收敛定理得到 . 2 arctg 1 1 (1 ) sin lim 0 0 2 0 2 π = = + = + +∞ +∞ +∞ →∞ ∫ ∫ dx x x dx x x n x n n 例 3 证明 . 1 1 1 ln 1 1 2 1 ∫0 ∑ ∞ = = − n n dx x x 证明 由泰勒级数知道 , 0 1. 1 1 ln 1 1 1 = < < − ∑ ∞ = − x n x x x n n (7) (6)式在 x = 0 和 x = 1不成立. 但 m({0,1}) = 0, 故(7)式在[0,1]上几乎处处成立. 由于在 [0,1]上 0, 1 1 ln 1 ( ) ≥ − = x x f x ( ) 0. 1 = ≥ − n x f x n n 由定理 3 知道它们的积分都可以视为 Lebesgue 积分. 利用推论 3 我们有