由引理1知道∫在[a,b]上是 Riemann可积的故()的充分性得证■ 定理2给出了函数∫在[a,b]上 Riemann可积的一个简单明了的判别条件,同时也 表明 Lebesgue积分是 Riemann积分的推广,并且 Lebesgue积分的可积函数类比 Riemann 积分的可积函数类大在§41中我们曾指出[O,上的 Dirichlet函数D(x)是L可积的但 由于D(x)在[O,上处处不连续,由定理2知道D(x)不是 Riemann可积的这个例子表 明 Lebesgue积分的可积函数类严格地大于 Riemann积分的可积函数类 广义 Riemann积分与 Lebesgue积分的关系 下面的定理仅以无穷区间[a,+∞)的广义 Riemann积分为例对其他无穷区间上的 广义 Riemann积分和无界函数的广义 Riemann积分也有类似的结果 定理3设∫是定义在[a,+∞)上的实值函数,并且对任意b>a,f在[a,b]上是有 界的几乎处处连续的.则有 (R)/x=(L)∫” 因此∫在[a+∞)上 Lebesgue可积当且仅当广义Remn积分(R)质绝对收敛并 且当(R)fa绝对收敛时,成立 R)=L)厂 证明由定理2知道对任意b>a,∫在[a,b]上是 Riemann可积的对每个n≥a,令 fn=|(an则f个f.由于每个f是L可测的,因此∫是L可测的由单调收敛定 理和定理2,我们有 (L)。1x=lim(L)Jx=1m(L)儿 几→ n→① m(R)儿mt=(R)J” 故4成立因此f在a+)上 Lebesgue可积当且仅当广义 Riemann积分(R厂 绝对收敛.当(R)f绝对收敛时,∫在[a,+∞)上是 Lebesgue可积的由于 川sf并且fn→∫处处成立,由控制收敛定理和定理2,我们有 (L)L fax=lim(L)L f,dx=lim(L). fdx 6 Im(R)/=(R厂 定理证毕 定理2和定理3表明,若∫在[a,b上 Rieman可积,或者∫在有界或无界区间上 的广义 Riemann积分绝对收敛,则∫是 Lebesgue可积的并且这两种积分值相等.在这种116 由引理 1 知道 f 在[a,b]上是 Riemann 可积的. 故(i) 的充分性得证. 定理 2 给出了函数 f 在[a,b]上 Riemann 可积的一个简单明了的判别条件, 同时也 表明 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广, 并且 Lebesgue 积分的可积函数类比 Riemann 积分的可积函数类大. 在 4.1中我们曾指出[0,1]上的 Dirichlet函数 D(x) 是 L可积的. 但 由于 D(x) 在[0,1]上处处不连续, 由定理 2 知道 D(x) 不是 Riemann 可积的. 这个例子表 明 Lebesgue 积分的可积函数类严格地大于 Riemann 积分的可积函数类. 广义 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系 下面的定理仅以无穷区间[a,+ ∞) 的广义 Riemann 积分为例. 对其他无穷区间上的 广义 Riemann 积分和无界函数的广义 Riemann 积分也有类似的结果. 定理 3 设 f 是定义在[a, + ∞) 上的实值函数, 并且对任意b > a, f 在[a,b]上是有 界的几乎处处连续的. 则有 (R) (L) . ∫ ∫ +∞ +∞ = a a f dx f dx (4) 因此 f 在[a, + ∞) 上 Lebesgue 可积当且仅当广义 Riemann 积分 ∫ +∞ a (R) fdx 绝对收敛. 并 且当 ∫ +∞ a (R) fdx 绝对收敛时, 成立 (R) (L) . ∫ ∫ +∞ +∞ = a a fdx fdx 证明 由定理2知道对任意b > a, f 在[a,b]上是Riemann可积的. 对每个n ≥ a, 令 . n [a,n] f = f I 则 f f . n ↑ 由于每个 n f 是 L 可测的, 因此 f 是 L 可测的. 由单调收敛定 理和定理 2, 我们有 lim (R) (R) . (L) lim(L) lim(L) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ ←∞∞ →∞ +∞ →∞ +∞ = = = = a n n a n a n a n a n f dx f dx f dx f dx f dx (5) 故(4)成立. 因此 f 在[a, + ∞) 上 Lebesgue 可积当且仅当广义 Riemann 积分 ∫ +∞ a (R) fdx 绝对收敛.. 当 ∫ +∞ a (R) fdx 绝对收敛时, f 在 [a, + ∞) 上是 Lebesgue 可积的. 由于 f f n ≤ 并且 f f n → 处处成立, 由控制收敛定理和定理 2, 我们有 lim (R) (R) . (L) lim(L) lim(L) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ ←∞∞ →∞ +∞ →∞ +∞ = = = = a n n a n a n a n a n fdx fdx fdx f dx fdx (6) 定理证毕. 定理 2 和定理 3 表明, 若 f 在[a,b]上 Riemann 可积, 或者 f 在有界或无界区间上 的广义 Riemann 积分绝对收敛, 则 f 是 Lebesgue 可积的并且这两种积分值相等. 在这种