lim(S, P-s, P))=0 我们可适当选取上面的分割序列{Pn},使得Pn+是P的加细.对每个自然数n≥1,令 m(m=inf(f(x): xE[x-l, x1), M(=Sup{f(x):x∈[x-1,x,]}.i=1…kn 再对每个自然数n≥1,令 gn=f(a)+∑ mI-1, h=f(a)+∑M"1-x1 则{gn}和{n}都是简单函数列,并且{gn}单调增加,{n}单调减少.而且满足 gn≤∫≤hn,n≥1.再令g= lim g,h= lim h由于∫是有界的,故g和h都是有界 可测函数,并且成立 g(x)≤f(x)≤饿(x).x∈[a,b 由控制收敛定理和gn与bn的定义,我们有 (L) gdx=lim(L)g, dx=lims(, P,) (L). hdx=lim(L).h, dx= lim S(, P) 由于lim(S(f,Pn)-s(f,P)=0,结合(2)与(3)得到 (L)[(h-g)dx=0 注意到g≤h,由§42定理7和上式得到g=hae.因此若令A={g≠h},则 m(A)=0.再设B是所有分割P的分点的全体则B是可数集.因此m(A∪B)=0.容 易知道当xgA∪B时,∫在x连续.因此∫在[a,b上几乎处处连续故()的必要性得 证.由于g=hae,结合(l)知道∫=gae.故∫是L可测的.又由于∫在[a,b上是 有界的,因此∫在[a,b]上是 Lebesgue可积的又由于当n→>∞时 0≤(R)x-(f,P)≤S(f,P)-(,P)→0 因此lms(,P)=(B)再结合(2)我们有 (L) fax=(L)L gdr=lim s(, Pn)=(R).fdr 故(i)得证 往证()的充分性设∫在[a,b]上几乎处处连续.又设{P}是[a,b]的一列分割,其 中{Pn}把[a,b]分成2个等长的小区间.按前述方式定义函数g和h.显然当x是f的 连续点时,g(x)=f(x)=(x)因此g=hae.由(2)与(3)得到 lim(S(, P)-s(, P))=0115 lim( ( , ) − ( , )) = 0. →∞ n n n S f P s f P 我们可适当选取上面的分割序列{ } Pn , 使得 Pn+1 是 Pn 的加细. 对每个自然数 n ≥ 1, 令 inf{ ( ) : [ , ]}, 1 ( ) i i n i m f x x x x = ∈ − sup{ ( ) : [ , ]}. 1 ( ) i i n i M f x x x x = ∈ − 1, , . n i = L k 再对每个自然数 n ≥ 1, 令 ( ) , ( ) . 1 ( , ] ( ) 1 ( , ] ( ) ∑ 1 ∑ 1 = = − − = + = + n i i n i i k i x x n n i k i x x n n i g f a m I h f a M I 则 { }n g 和 { }n h 都是简单函数列, 并且 { }n g 单调增加, { }n h 单调减少.而且满足 g ≤ f ≤ h , n ≥ 1. n n 再令 lim , lim . n n n n g g h h →∞ →∞ = = 由于 f 是有界的, 故 g 和 h 都是有界 可测函数, 并且成立 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), x ∈[a,b]. (1) 由控制收敛定理和 n g 与 n h 的定义, 我们有 (L) lim(L) lim ( , ), n n b a n n b a gdx g dx s f P →∞ ←∞ = = ∫ ∫ (2) (L) lim(L) lim ( , ). n n b a n n b a hdx h dx S f P →∞ ←∞ = = ∫ ∫ (3) 由于 lim( ( , ) − ( , )) = 0, →∞ n n n S f P s f P 结合(2)与(3)得到 (L) ( − ) = 0. ∫ b a h g dx 注意到 g ≤ h, 由 4.2 定理 7 和上式得到 g = h a.e.. 因此若令 A = {g ≠ h}, 则 m(A) = 0. 再设 B 是所有分割 Pn 的分点的全体. 则 B 是可数集. 因此m(A ∪ B) = 0. 容 易知道当 x ∉ A ∪ B 时, f 在 x 连续. 因此 f 在[a,b]上几乎处处连续. 故(i) 的必要性得 证. 由于 g = h a.e., 结合(1) 知道 f = g a.e.. 故 f 是 L 可测的. 又由于 f 在[a,b]上是 有界的, 因此 f 在[a,b]上是 Lebesgue 可积的. 又由于当 n → ∞ 时, 0 ≤ (R) − ( , ) ≤ ( , ) − ( , ) → 0. ∫ n n n b a fdx s f P S f P s f P 因此 ∫ = →∞ b a n n lim s( f , P ) (R) fdx. 再结合(2)我们有 ∫ ∫ ∫ = = = →∞ b a n n b a b a (L) fdx (L) gdx lim s( f , P ) (R) fdx. 故(ii) 得证. 往证(i) 的充分性. 设 f 在[a,b]上几乎处处连续. 又设{ } Pn 是[a,b]的一列分割, 其 中{ } Pn 把[a,b]分成 n 2 个等长的小区间. 按前述方式定义函数 g 和 h. 显然当 x 是 f 的 连续点时, g(x) = f (x) = h(x). 因此 g = h a.e.. 由(2)与(3)得到 lim( ( , ) − ( , )) = 0 →∞ n n n S f P s f P