2006春季球 戋性代数第8章二次型 8 例4已知二次型 f(x1,x2,x3)=2x1+3x2+3x3+2ax2x3, 其中a>0,通过正交变换化作y2+2y2+5y3.试 确定参数a及所作的正交变换 例5已知二次型 123 (1-a)x+(1-a)x2+2x3+2(1+a)x1 的秩为2 (1)求a的值; ()求正交变换x=Q,把∫(x1,x2,x3)化成标 准形; (II)求方程f(x1,x2,x3)=0的解 解(1)由于二次型∫的秩为2,对应的矩阵 1+a A=1+a1-a0的秩为2,所以有 0 1-a1+a -4a=0,得a=0 1+a12006 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—6 例4 已知二次型 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 3x + 3x + 2ax x ， 其中a > 0，通过正交变换化作 ．试 2 3 2 2 2 y1 + 2 y + 5 y 确定参数a及所作的正交变换． 例 5 已知二次型 1 2 2 3 2 2 2 1 1 2 3 (1 ) (1 ) 2 2(1 ) ( , , ) a x a x x a x x f x x x = − + − + + + 的秩为 2. (I) 求a的值； (II) 求正交变换 x = Qy，把 化成标 准形； ( , , ) x1 x2 x3 f (III) 求方程 ( , , )=0 的解. x1 x2 x3 f 解(I) 由于二次型 f 的秩为 2，对应的矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + = 0 0 2 1 1 0 1 1 0 a a a a A 的秩为 2，所以有 4 0 1 1 1 1 = − = + − − + a a a a a ，得a = 0