06春季 戋性代数第8章二次型 ()当a=0时,A=110|, 002 无-1 0 E-A=-14 0=(4-2)2 00元-2 可知A特征值为A1=2=2,A3=0 A的属于1=2的线性无关的特征向量为 n1=(1,1,0)7,n2=(0,0,1) A的属于a3=0的线性无关的特征向量为 3 易见,42,3两两正交 将,2,3单位化得 2 (1,)7,e2=(00)32 (-1,1 取Q=(e1,e2,e3),则Q为正交矩阵.令x=Qy,得 ∫(x1,x2,x3)=A J1+瓦 2 y 2 y1+2 (II)解法1在正交变换x=￠y下, ∫(x1,x2,x3)=0化成2y+2y2=0,解之得 y1=y2=0,从而2006 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—7 (II) 当a = 0时， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 2 1 1 0 1 1 0 A ， λ λ λ λ λ 2 ( 2) 0 0 2 1 1 0 1 1 0 = − − − − − − λE − A = 可知 A特征值为 2 λ1 = λ 2 = ，λ 3 = 0. A的属于 2 λ1 = 的线性无关的特征向量为 ， ； T η (1,1,0) 1 = T η (0,0,1) 2 = A的属于λ 3 = 0的线性无关的特征向量为 . T η ( 1,1,0) 3 = − 易见 两两正交. 1 2 η3 η ,η , 将 单位化得 1 2 η3 η ,η , T e (1,1,0) 2 1 1 = ， ， T e (0,0,1) 2 = ( 1,1,0) , 2 1 3 T e = − 取Q = (e1 ,e2 ,e3 )，则Q为正交矩阵. 令 x = Qy，得 2 2 2 1 2 3 3 2 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = λ1 y1 + λ y + λ y = 2 y + 2 y (III) 解法 1 在正交变换 x = Qy下， f (x1 , x2 , x3 ) = 0 化 成 ，解之得 ，从而 2 2 0 2 2 2 y1 + y = 0 y1 = y2 =