由于积分有两个奇点,所以将F(y)=「-如xa写成 x'(r F()=5x(x=x于 SIn x 2r(r-r)odx=Fi()+E() 当x∈(0,1),y≤2-n时, }mx,而下收或,由 sIn x wee判外别法的证明,可知反常积分F(y=5(2在 y∈[,2-刀]上一致收敛。 当(1,12时,mam,而(m一 收敛,由 Weierstrass判别法的证明,可知反常积分 F()-∫2在y∈n2-n上一致收敛。 所以F(y)= (r-功2女在yeD2-上一致收敛。 sinx 7.设。f(x)存在。证明f(x)的 Laplace变换F(s)=J。efxk在 [0,+∞)上连续。 证由于”()k收敛即关于s在+)上一致收敛,c"关于x单调, 且叫51,即c在x∈[Q+).s∈D0+∞)上一致有界,由Abel判别法, F(s)=ef(x)在se0+∞)上一致收敛,从而F(s)在[O+∞)上连续。 8.证明函数(051+(+在(+)上可微 证首先反常积分1()=10,。对任意∈(2+收敛。其次有 a cosx dx = 2(x+D) cos xdx o oa1+(x+1 1+(x+1)2 任取m,A>0,[52,即0关于ea句-致有界 记 c=max ,当x>c,t∈b时,2x+0关于x单调,且 2(x+D) 即当x→+∞时 2x+0)关于teab 1+(x+D2 致趋于零。由 Dirichlet判列别法,可知-。+(x+Dx在∈a 上一致收敛,所以/(O)= COS x d在t∈[a,b上可微,且有由于积分有两个奇点，所以将 ∫ − − = π 0 π 2 ( ) sin ( ) dx x x x F y y y 写成 2 2 0 sin ( ) ( ) y y x F y dx x x π π − = − ∫ 2 2 sin ( ) y y x dx x x π π π − + − ∫ ( ) ( ) 1 2 = F y + F y 。 当 x ∈ (0,1)， y ≤ 2 −η 时， y y x x x − − 2 ( ) sin π −η ≤ 2 sin x x ，而 1 2 0 sin x dx x ∫ −η 收敛，由 Weierstrass 判别法的证明，可知反常积分 2 1 2 0 sin ( ) ( ) y y x F y dx x x π π − = − ∫ 在 y ∈[η,2 −η]上一致收敛。 当 x∈ − ( 1 π ,π )，y ≥η 时， y y x x x − − 2 ( ) sin π η π − − ≤ 2 ( ) sin x x ，而 2 1 sin ( ) x dx x π η π π − − − ∫ 收敛，由 Weierstrass 判别法的证明，可知反常积分 2 2 2 sin ( ) ( ) y y x F y dx x x π π π − = − ∫ 在 y ∈[η,2 −η]上一致收敛。 所以 ∫ − − = π π 0 2 ( ) sin ( ) dx x x x F y y y 在 y ∈[η,2 −η]上一致收敛。 7. 设 存在。证明 的 Laplace 变换 在 上连续。 ∫ +∞ 0 f (x)dx f (x) ∫ +∞ − = 0 F(s) e f (x)dx sx [0, + ∞) 证 由于∫ 收敛即关于 在 +∞ 0 f (x)dx s [0,+∞)上一致收敛， 关于 单调， 且 sx e− x ≤ 1 −sx e ，即e−sx在 x ∈[0,+∞),s ∈[0,+∞)上一致有界，由 Abel 判别法， ∫ 在 上一致收敛，从而 在 上连续。 +∞ − = 0 F(s) e f (x)dx sx s ∈ + [0, ∞) F s( ) [0,+∞) 8. 证明函数 ∫ +∞ + + = 0 2 1 ( ) cos ( ) dx x t x I t 在(−∞,+∞) 上可微。 证 首先反常积分 ∫ +∞ + + = 0 2 1 ( ) cos ( ) dx x t x I t 对任意t ∈( , −∞ +∞)收敛。其次有 2 0 cos 1 ( ) x dx t x t +∞ ∂ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∂ + ⎣ + ⎦ ∫ 2 0 2 2( ) cos 1 ( ) x t xdx x t +∞ + = − ⎡ ⎤ + + ⎣ ⎦ ∫ 。 任取[ , a b]，∀A > 0， cos 2 0 ≤ ∫ A xdx ，即∫ 关于 A xdx 0 cos t ∈[a,b]一致有界； 记 c = max{a , b}，当 x > c ， t ∈[a,b] 时， 2 2 [1 ( ) ] 2( ) x t x t + + + 关于 x 单调，且 2 2 [1 ( ) ] 2( ) x t x t + + + 2 1 ( ) 1 + x − c ≤ ，即当 x → +∞ 时， 2 2 [1 ( ) ] 2( ) x t x t + + + 关于 一 致趋于零。由 Dirichlet 判别法，可知 t ∈[a,b] 2 2 0 2( ) cos [1 ( ) ] x t xdx x t +∞ + − + + ∫ 在 上一致收敛，所以 t ∈[a,b] ∫ +∞ + + = 0 2 1 ( ) cos ( ) dx x t x I t 在t ∈[a,b]上可微，且有 5