a∈(-0,+)上不一致收敛 (3)()当p2P0>0,p21n2 xsx o-lin22x,而∫xln2xdt收敛,由 Weierstrass判别法,「x"ln2xd在p∈[P+∞)上一致收敛。 (I)当p>0,取pn=->0,由于 i xPs-lIn'xdx2In2-i x"dr=n ln2-→>+(P→+0), 2 由 Cauchy收敛准则,可知∫x"hn2x在p∈(0+)上不一致收敛。 (4)(I)当a≥a0>0, le-a sin x≤e(x20),而e收敛,由 Weierstrass别法,∫。e- sin xdx在a∈a0+x)上一致收敛 (I)当a>0,取s=2e,VA>0,取A=nr>A,A"=(n+1z, 则当n充分大时 (n+ re-a sin xdx 2 2e=Eo, 由 Cauchy收敛准则,∫。 e" xdx在a∈(0+)上不一致收敛 5.证明函数F(a)=∫a在0+)上连续。 证任取01+),s2,即关于a一致有 界;关于x单调,且va∈[ab成立 所以当x→+∞时 关于a∈a-致趋于零。由Drht判别法,可知F(a)=「。2在 ae0上一致收敛,从而F(a)=∫xa在ab上连续,由ab的任 意性,即知F(a)=「02d在(0+∞)上连续。 6.确定函数(0)=x(-x2的连续范围 解函数F(y)=」 x(x)女的定义域为(0,2)。下面我们证明 sin x F(y)=「x,d在(0.2)上内闭一致收敛,即vn>0, F()=002在y∈[m2-m上一致收敛,从而得到F()在(02) 上的连续性α ∈ (−∞,+∞)上不一致收敛。 （3）（I）当 p ≥ p0 > 0， x x x x p 1 2 p 1 2 ln ln − 0 − ≤ ，而 收敛，由 Weierstrass 判别法， 在 ∫ − 1 0 1 2 ln 0 x xdx p ∫ − 1 0 1 2 x ln xdx p p ∈ [ , ) p0 +∞ 上一致收敛。 （II）当 p > 0，取 1 0 n p n = > ，由于 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 n n ( → +0) 1 1 2 2 1 1 ln ln ln 2 n p n n n n n n n x xdx x dx n n n − − ⎛ ⎞ ≥ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∫ ∫ → +∞ p ， 由 Cauchy 收敛准则，可知∫ − 在 1 0 1 2 x ln xdx p p ∈ (0,+∞)上不一致收敛。 （4）（I）当α ≥ α 0 > 0， x x e x e 0 sin −α −α ≤ (x ≥ 0) ，而 收敛，由 Weierstrass 判别法， 在 ∫ +∞ − 0 0 e dx α x ∫ +∞ − 0 e sin xdx αx [ , ) α ∈ α 0 +∞ 上一致收敛。 （II）当α > 0，取 0 2e π ε − = ，∀A > 0，取 A n ′ = π > = A, ( A′′ n +1)π ， 1 1 n n α α= = + ，则当n充分大时， ( 1) 0 sin 2 n n x n e xdx e π α π π ε + − − ≥ = ∫ ， 由 Cauchy 收敛准则，∫ 在 +∞ − 0 e sin xdx αx α ∈ (0,+∞)上不一致收敛。 5. 证明函数 ∫ +∞ = 1 cos ( ) dx x x F α α 在(0,+∞)上连续。 证 任取[ , a b] ⊂ (0,+∞) ， cos 2 1 ≤ ∫ A xdx ，即 ∫ 关于 A xdx 1 cos α ∈[a,b]一致有 界； α x 1 关于 x单调，且∀α ∈[a,b]成立 a x x 1 1 ≤ α ，所以当 x → +∞时， α x 1 关于α ∈[a,b]一致趋于零。由 Dirichlet 判别法，可知 ∫ +∞ = 1 cos ( ) dx x x F α α 在 α ∈[a,b]上一致收敛，从而 ∫ +∞ = 1 cos ( ) dx x x F α α 在 上连续，由 的任 意性，即知 [a,b] a,b ∫ +∞ = 1 cos ( ) dx x x F α α 在(0,+∞)上连续。 6. 确定函数 ∫ − − = π 0 π 2 ( ) sin ( ) dx x x x F y y y 的连续范围。 解 函 数 ∫ − − = π 0 π 2 ( ) sin ( ) dx x x x F y y y 的定义域为 (0, 2) 。下面我们证明 ∫ − − = π π 0 2 ( ) sin ( ) dx x x x F y y y 在 (0, 2) 上内闭一致收敛，即 ∀η > 0 ， ∫ − − = π π 0 2 ( ) sin ( ) dx x x x F y y y 在 y ∈[η,2 −η]上一致收敛，从而得到 在 上的连续性。 F y( ) (0, 2) 4